limf(x)=0,求证lim(x→∞)=0

解题过程如下：

证明：

∵limf(x)=A【x趋于无穷】

∴任给正数ε，存在正数M

当│x│>M时，有│f（x）-A│<ε

即当x>M时，有│f（x）-A│<ε

当x<-M时，也有│f（x）-A│<ε

∴limf(x)=limf(x)=A【x分别趋于正无穷与负无穷】

∵limf(x)=limf(x)=A【x分别趋于正无穷与负无穷】

∴对任意正数ε，存在正数M1

当x>M1时，有│f（x）-A│<ε

同样存在正数M2

当x<-M2，时，也有│f（x）-A│<ε

取M=max{M1，M2}

则当│x│>M时，有│f（x）-A│<ε

∴limf(x)=A【x趋于无穷大】

扩展资料

证明函数周期的方法：

设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

若f（x）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f（x）+C（K≠0）和1/ f（x）分别是集M和集{X/ f（x） ≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。

若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+n）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。