如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0）．将矩形OABC

如图，矩形OABC在平面直角坐标系内（o为坐标原点），点A在x轴上，点C在y轴上~

⑴因矩形OABC的OA、OC与坐标轴重合，B点坐标为（-2，2*3^（1/2））
则OA=BC=2，OC=AB=2*3^（1/2）
E是BC中点，则CE=BE=BC/2=1
AH=1/2
HG‖y轴，则BG=AH，
EG=BE-BG=1-1/2=1/2
因△DEF为Rt△CEF折叠而来，所以△DEF为Rt△，且
△DEF≌△CEF
∠DEF=∠CEF，DE=CE=1
在Rt△DEG中，cos∠DEG=EG/DE=(1/2)/1=1/2,则∠DEG=60°
又∠DEF=∠CEF,
∴∠CEF=(180°-∠DEG)/2=(180°-60°)/2=60°
D点横坐标为：1/2-2=-3/2
纵坐标为：2*3^(1/2)-1
即其坐标为（-3/2，2*3^(1/2)-1）
⑵由⑴知∠CEF=60°，即折痕EF与x轴的夹角为：180°-60°=120°
设其直线的函数为：y=kx+b
则 k=tan120°=-3^(1/2)
因直线过E点（-1，2*3^(1/2)）
代入直线方程，2*3^(1/2)= -3^(1/2)*（-1）+b,得b=3^(1/2)
所以直线EF的函数为：y=-3^(1/2)x+3^(1/2)
⑶由上可知直线EF的函数为：y=-3^(1/2)x+3^(1/2)
则，F点的坐标为：（0，3^(1/2)）
且∠DFP=30°，DF=CF=2*3^(1/2)- 3^(1/2)= 3^(1/2)
P点在EF上，要使△PFD为等腰三角形，则有（三种情况）：
①P1D=P1F
过P1作P1Q⊥DF于Q，则Q为DF中点
FQ=DF/2=（3^(1/2)）/2，则 P1F=QF/cos∠DFP1=1
所以P1点横坐标为：-P1F*cos60°=-1/2
纵坐标为：3^(1/2)+ P1F*sin60°=(3*3^(1/2))/2
即P1为（-1/2，(3*3^(1/2))/2）
②DF=P2F
此时P2F=3^(1/2)
所以P2点横坐标为：-P2F*cos60°=-（3^(1/2)）/2
纵坐标为：3^(1/2)+ P2F*sin60°=(5*3^(1/2))/2
即P3为（-（3^(1/2)）/2，(5*3^(1/2))/2）
③DF=DP3
过D点作DR⊥P3F于R，则R为P3F中点
在Rt△DFR中，FR=DF/cos∠DFP3=2,则FP3=4
所以P3点横坐标为：-P3F*cos60°=-2
纵坐标为：3^(1/2)+ P3F*sin60°=3*3^(1/2)
即P3为（-2，3*3^(1/2)）

这很难写呀，根号和分数不好表示

由题意得：
OD=5，
∵△ODP是腰长为5的等腰三角形
∴OP=5，或者PD=5
过P做OD的垂线，与OD交于Q点
∴PQ=OC=4
（1）如果OP=5，那么直角三角形OPQ的直角边OQ=3，P的坐标是(3,4)
（3）如果PD=5，那么QD＝3，OQ＝3，P的坐标是(2,4)

由旋转可得：∠AOF=135°，又∠AOC=90°，
∴∠COF=∠AOF-∠AOC=45°，又∠MOC=90°，
∴∠FOM=45°，又OF∥HG，
∴∠OMH=∠FOM=45°，又∠H=90°，
∴△OHM为等腰直角三角形，
∴OH=HM=2，
则根据勾股定理得：OM=2解：（1）如图所示：

由旋转可得：∠AOF=135°，又∠AOC=90°，
∴∠COF=∠AOF-∠AOC=45°，又∠MOC=90°，
∴∠FOM=45°，又OF∥HG，
∴∠OMH=∠FOM=45°，又∠H=90°，
∴△OHM为等腰直角三角形，
∴OH=HM=2，
则根据勾股定理得：OM=2根号2；

2（2）①如图所示：

∵AD∥BO，AB∥OD，
∴四边形ADOB为平行四边形，
∴DO=AB=2，
由平移可知：∠HEM=45°，
∴∠OMD=∠ODM=45°，
∴OM=OD=2，
由平移可知：EM=2根号2，
∴矩形EFGH平移的路程t=2根号2-2=2（根号2-1）；
②分三种情况考虑：
（i）如图1所示，当0＜t＜2时，重叠部分为等腰直角三角形，
此时S=1/2乘 t的平方；

（ii）如图2所示，当2≤t＜22时，重叠部分为直角梯形，
此时S=1、2[（t-2）+t]×2=2t-2；

（iii）如图3所示，当22≤t≤42-2时，重叠部分为五边形，
此时S=（2t-2）-12（t-22）2=-12t2+2（2+1）t-6．

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