已知连续函数f(x)=x^2+x∫(上限为1下限0)f(x)dx，则f(x)=?

已知连续函数f(x)=x^2+x∫(上限为1下限0)f(x)dx,则f(x)=?~

f(x)=x^2+x∫(0,1)f(x)dx
(1)
两边求导得
f'(x)=2x+∫(0,1)f(x)dx
两边再求导得
f''(x)=2
因此么过来积分得
f'(x)=2x+C1
f(x)=x^2+C1x+C2
代入（1）得
f(x)=x^2+x∫[0,1]f(x)dx
=x^2+x∫[0,1][x^2+C1x+C2]dx
=x^2+x*(x^3/3+C1x^2/2+C2x)[0,1]
=x^2+x*(1/3+C1/2+C2)
=x^2+Cx
再代入（1）得
f(x)=x^2+x∫[0,1]f(x)dx
=x^2+x∫[0,1][x^2+Cx]dx
=x^2+x*（x^2/3+Cx^2/2)[0,1]
=x^2+x*(1/3+C/2)
=x^2+Cx
比较系数得
C=1/3+C/2
C=2/3
所以f(x)=x^2+2/3x
再改一下答案：
f(x)=x^2+x∫(0,1)f(x)dx
由于∫(0,1)f(x)dx
是常数,因此令∫(0,1)f(x)dx
＝C
则f(x)=x^2+Cx
反代得
f(x)=x^2+x∫[0,1]f(x)dx
=x^2+x∫[0,1][x^2+Cx]dx
=x^2+x*（x^2/3+Cx^2/2)[0,1]
=x^2+x*(1/3+C/2)
=x^2+Cx
比较系数得
C=1/3+C/2
C=2/3
所以f(x)=x^2+2/3x

1.首先要搞清楚一个概念： ∫(0,1）f(x)dx作为一个定积分，它实际上是一个定值，一个常数！其值与被积的变量究竟是x还是t还是y没有任何关系！
所以可设k=∫(0,1)f(x)dx=∫(0,1)f(t)dt，代入到原f(x)的解析式，就是：
f(x)=x^+2k ①
对方程两侧同时取下限为0，上限为1的x的定积分：
∫(0,1)f(x)dx=∫(0,1)x^dx + ∫(0,1) 2k dx
等式左侧显然就是刚刚所设的k！

k=(x^3)/3 (下限为0，上限为1) + 2k *(1-0)
k=1/3 + 2k
k=-1/3
即：∫(0,1)f(x)dx=-1/3

将k=∫(0,1)f(t)dt=-1/3代入原f(x)的解析式：
f(x)=x^ - 2/3

f(x)=x^2+x∫(0,1)f(x)dx (1)
两边求导得
f'(x)=2x+∫(0,1)f(x)dx
两边再求导得
f''(x)=2
因此么过来积分得
f'(x)=2x+C1
f(x)=x^2+C1x+C2
代入（1）得
f(x)=x^2+x∫[0,1]f(x)dx
=x^2+x∫[0,1][x^2+C1x+C2]dx
=x^2+x*(x^3/3+C1x^2/2+C2x)[0,1]
=x^2+x*(1/3+C1/2+C2)
=x^2+Cx
再代入（1）得
f(x)=x^2+x∫[0,1]f(x)dx
=x^2+x∫[0,1][x^2+Cx]dx
=x^2+x*（x^2/3+Cx^2/2)[0,1]
=x^2+x*(1/3+C/2)
=x^2+Cx
比较系数得
C=1/3+C/2
C=2/3
所以f(x)=x^2+2/3x

再改一下答案：
f(x)=x^2+x∫(0,1)f(x)dx
由于∫(0,1)f(x)dx 是常数，因此令∫(0,1)f(x)dx ＝C
则f(x)=x^2+Cx
反代得
f(x)=x^2+x∫[0,1]f(x)dx
=x^2+x∫[0,1][x^2+Cx]dx
=x^2+x*（x^2/3+Cx^2/2)[0,1]
=x^2+x*(1/3+C/2)
=x^2+Cx
比较系数得
C=1/3+C/2
C=2/3
所以f(x)=x^2+2/3x

f(x)=x^2+x∫[1,0]f(x)dx-------原式
对原式两边从[1,0]积分，可得：
∫[1,0]f(x)dx=1/3*x^3|[1,0]+∫[1,0]f(x)dx*1/2*x^2|[1,0]
所以，∫[1,0]f(x)dx=1/3+∫[1,0]f(x)fx*1/2
移项，得：1/2*∫[1,0]f(x)dx=1/3
所以, ∫[1,0]f(x)dx=2/3
所以可得：f(x)=x^2+2/3*x

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