证明数列收敛并求出极限

证明数列收敛 求极限~

记a的算术平方根为Q (抱歉我还只有一级不能插图片，连个公式也插不了）
1.当X1>Q时，
证有界：设Xn>Q,（显然N=1时成立），则X（n+1)=(Xn+a/Xn)/2>(Q+a/Q)/2=Q (y=x+a/x为耐克函数，有Y〉=Q，当且仅当x=Q时取等号)，由数学归纳法可知Xn>Q成立
证单调:X(n+1))=(Xn+a/Xn)/2<(Xn+(Xn的平方)/Xn)/2=Xn
2. 当X1=Q,Xn=Q
3. 当0(Q+a/Q)/2=Q，可知X2>Q,那么可暂时不管X1，可知由X2开始的新数列必有Xn〉Q，且单调减小。（其实就是再把1证一遍），数列的极限为n趋向无穷大时的情况，与x1无关。
小结：有界，单调，必收敛。
记数列极限为M
由于X（n+1)与X(n)相同，且X(n+1)=1/2(Xn+a/Xn)，故W=(W+a/W),解得W=Q，（W=-Q舍去，因为明显Xn>0)
其实此题解题时应先求出极限Q，再证收敛！！！
此题关键是耐克函数的应用，研究一下吧。
----好累啊----

易知xn>0
xn+1/xn=(1+1/n)^k/a
令N=[1/(a^(1/k)-1)]+1
n>N时，n>1/(a^(1/k)-1)
xn+1/xn<(1+a^(1/k)-1)^k/a=a/a=1
所以n>N时，xn是减函数
单调有界函数必定收敛
故xn收敛
设limxn=A
xn+1=(1+1/n)^k/axn
两边取极限得
A=A/a
A=0

(2)0<an<1/3*2/6*...n/3n=(1/3)^n-->0
(4)对任意n，显然an>=1 所以an/(1+an)<1 即1<a(n+1)<2 所以an有界
当n>2, a(n+1)/an=1/an+1/(1+an) an>1所以a(n+1)/an<1+1/2<1所以a(n+1)<an 即an单调减少
所以极限存在设为a 令n-->∞有 a=1+a/(1+a)==>a=(1+√5)/2

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