证明该数列收敛并找到极限

如何证明收敛数列的极限是唯一的~

证明如下：设lim xn = a,lim xn = b
当n > N1,|xn - a| < E
当n > N2,|xn - b| < E
取N = max {N1,N2},
则当n > N时有
|a-b|=|(xn - b)-(xn - a)|
收敛数列定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|。
收敛数列的性质：
如果数列收敛，那么它的极限唯一；
如果数列收敛，那么数列一定有界；
保号性；
与子数列的关系一致.发散的数列有可能有收敛的子数列。

解这类题的常规思路是这样的，用数学归纳法先证明该数列有上界，其次证明该数列单调递减，最后再求该数列极限。不能先求数列通项，因为有的数列通项是不容易求出来的。
证明：1、先证明该数列有上界
当n=1时，x1=3 ， x2=2-1/x1=2-1/3=5/3>1，即x2>1
假设当n=k时，有Xk>1,即1/Xk<1,即1-1/Xk>0
则当n=k+1时，X(k+1)=2-1/Xk=1+(1-1/Xk)>1
所以无论n为何整数，都有Xn>1
于是数列{xn}有上界
2、其次证明该数列单调递减
当n=1时，x1=3 ， x2=2-1/x1=2-1/3=5/3<x1，即x2<x1
假设当n=k时，有Xk<X(k-1)，即Xk-X(k-1)<0
则当n=k+1时，X(k+1)-Xk=(2-1/Xk)-(2-1/X(k-1)=[Xk-X(k-1)]/XkX(k-1)<0（因为Xk>1,X(k+1)>1)
即X(k+1)<Xk
所以无论n为何整数，都有X(n+1)<Xn
于是数列{xn}单调递减
根据柯西收敛定理得知数列{xn}收敛并有极限
3、最后再求该数列极限
设limXn=A(n→∞），则limX(n+1)=A(n→∞）
由X(n+1)=2-1/Xn得
A=2-1/A
解得A=1
于是limXn=1(n→∞）

x1=3，
xn+1=2-(1/xn)，
数学归纳法，得出：xn=(2n+1)/(2n-1)，
——》limn→∞ (2n+1)/(2n-1)
=limn→∞ (2+1/n)/(2-1/n)
=(2+0)/(2-0)
=1。

谢谢回复，能麻烦写一下数学归纳法的步骤吗？
1、x1=3=(2*1+1)/(2*1-1)，满足xn=(2n+1)/(2n-1)，
2、假设n=k时，xk=(2k+1)/(2k-1)，
则：x(k+1)=2-(1/xk)=2-(2k-1)/(2k+1)=(2k+3)/(2k+1)=[2(k+1)+1]/[(2(k+1)-1]，
即n=k+1时，也满足xn=(2n+1)/(2n-1)，
命题得证。

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