利用单调有界原理，证明数列xn收敛，并求其极限。
如下：
首先，由X1=a>0及Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)，得所有Xn>0(n为自然数)。（由这个公式，可知Xn+1与Xn符合相同，而X1大于0，因此所有{Xn}中元素均大于0。这个是利用下面不等式的基础）其次证明有界：Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)>=1/2*2*√(Xn*1/Xn)=1( 利用a+b>=2√ab)。
因此Xn>=1(n>1)由单调有输准则，数列{Xn}收敛，由上可知，其极限=1。
任一项的绝对值都小于等于某一 正数的数列。有界数列是指 数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。假设存在定值a，任意n有{An（n为下角标，下同）=B，称数列{An}有下界B，如果同时存在A、B时的数列{An}的值在区间[A,B]内，数列有界。
单调有界定理：若数列{an}递增有上界（递减有下界），则数列{an}收敛，即单调有界数列必有极限。具体来说，如果一个数列单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则该数列收敛。
数列写成{a[n]}了哈。。。
a[n]∈(0,1)，且fn(a[n])=0
所以a[n+1]+a[n+1]^2+...+a[n+1]^n=1-a[n+1]^(n+1)<1=a[n]+a[n]^2+...+a[n]^n
即fn(a[n+1])<fn(a[n])
因为fn(x)在(0,1)单增
所以a[n+1]<a[n]
所以{a[n]}单减有界，有极限
lim(n→∞)fn(x)=lim(n→∞)x*(1-x^n)/(1-x)=x/(1-x)
所以lim(n→∞)fn(1/2)=1
所以lim(n→∞)a[n]=1/2
所以Xn极限等于Xn-1极限，解得原式的极限为√a
望采纳！
Xn>=√a 有下界怎么就由题可知了呢？
用不等式的性质呀，我只是再给你说的具体的思路而已。其实也是可以这么写的。
还是不明白！
不等式的性质可以查一下，a+b>=2√ab 因此可得到Xn>=√a这一步。明白了吧？
利用单调有界原理，证明数列xn收敛，并求其极限。视频
相关评论：
桂废肥不妨设数列单调增，因为有上界所以有上确界，设为a.则an<=a（an单调增）。对任意的§>0,存在an>a-§,则由an单调增知，对任意的n,m>n，有a>an>a-§,a>am>a-§。又因为从而有|an-am|<§，证毕！
桂废肥当a=2时，{xn} 恒为2.极限存在。当a>2时，{xn}单调递减，但xn>=2.单调有界所以极限存在。其极限均为 2.下面求之：根据xn+1=(2+xn)^0.5,得xn+1^2=2+xn，当n趋向无穷时，因为{xn}极限存在，所以xn+1=xn 所以可变为x^2-x-2=0.所以x=2或-1（舍去）所以极限为2，得证 ...
桂废肥∵ 1 < x1=√2 < x2 =√(2+x1) < 2 由数学归纳法：假设： x(n-1) < xn < 2 xn=√(2+x(n-1)) < xn+1=√(2+xn) ∴ xn为单调数列；xn+1=√(2+xn) < √(2+2) < 2 ∴ xn为有界数列,上界取2,下界取 x1=√2；∴由单调有界原理： lim(n->∞) xn 存在 ...
桂废肥本体是利用单调有界定理来证明数列极限存在的。定理：单调有界数列必有极限。--- 所以现在要证明两个事情，第一，数列{xn}单调；第二，数列{xn}有界 (1)单调性 因为当Xn>0时，X(n+1)>0，又X0>0 所以对于任意的n有Xn>0 故利用均值不等式，对任意的n都有 X(n+1)=Xn\/2+2\/Xn≥2√(Xn...
桂废肥2。Xn<√(2Xn)<√(2+Xn)=X（n+1）==》数列单调递增。3。==》Lim{n→+∞}Xn=a存在==》a=√(2+a)==》a=2。2）1。用归纳法证明Xn<1.ⅰ。X1=1\/2<1 ⅱ。设Xn<1==》X（n+1）=(1+Xn^2)\/2<（1+1）\/2=1。所以Xn<1.数列有上界。2。Xn=√(Xn^2)<(1+Xn^2)\/2=...
桂废肥x(n+1)=√(6+xn）1.x1-x2=10-4>0 现设x(n-1)>xn xn-x(n+1)=√(6+x(n-1))-√(6+xn)=(x(n-1)-xn)\/√(6+xn)+√(6+x(n-1))>0 由数学归纳法，xn>x(n+1),数列单减 2，因为x1>3, 设xn>3,x(n+1)=√(6+xn)>√9=3 故xn有下界3 数列单减有下界，...
桂废肥设数列{xn}单调递增且有上界，利用戴德金定理证明其必有极限。首先分类讨论：若{xn}从某项开始所有项相等（即有无穷多个相等项），由于单调递增，当n > N时，xn = xN，因此数列{xn}收敛至xN。若仅有限项相等，即从某项开始严格单调递增，且数列有上界，可取所有xn的上界组成数集B，并选取A为实数...
桂废肥当0 2时，{xn}单调递减，但xn>=2.单调有界所以极限存在。其极限均为 2.下面求之：根据xn+1=(2+xn)^0.5,得xn+1^2=2+xn，当n趋向无穷时，因为{xn}极限存在，所以xn+1=xn 所以可变为x^2-x-2=0.所以x=2或-1（舍去）所以极限为2，得证 ...
桂废肥单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需用其他方法；数列从某一项开始单调有界的话，结论依然成立，这是因为增加或去掉数列有限项不改变数列的极限。知识拓展：收敛数列，数学名词，设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时...
桂废肥显然xn>0, xn+1≥2，且 xn+1-xn=2\/xn -xn\/2=(4-xn²)\/(2xn)≤0,所以，xn+1<xn,数列单调递减，有下届，因此极限存在，该极限是2
