利用单调有界原理证明数列的收敛 并求极限

如何证明收敛数列必定为有界数列？~

设数列{a[n]}收敛于a，由定义知存在正整数M，使得当n>M时|a[n]-a|<1，或者说a-1<a[n]<a+1于是min{a[1]，a[2]，...，a[M]，a-1}<=a[n]<=max{a[1]，a[2]，...，a[M]，a+1}，即{a[n]}有界。
如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。
数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

扩展资料：
数列有极限的必要条件：数列单调增且有上界 或 数列单调减且有下界=>数列有极限。
对一切n 有Xn≤M 其中M是与n无关的常数 称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界。
对一切n 有Xn≥m 其中m是与n无关的常数 称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界。
参考资料来源：百度百科--收敛数列

参考资料来源：百度百科--有界数列

好像没有任何证据证明“界”=“极限”


不过可以求得极限
因递减数列Xn存在下界，所以Xn有极限A
Xn+1也有极限，
所以可两边求极限lim（Xn+1）=lim(1/2(Xn^2+1)/Xn)
等价于limXn×lim（Xn+1）=limXn×lim(1/2(Xn^2+1)/Xn)
右式=lim（Xn×1/2(Xn^2+1)/Xn)=1/2(limXn)^2+1/2=1/2A^2+1/2
左式=A^2+A
解得A=1

数列写成{a[n]}了哈。。。
a[n]∈(0,1)，且fn(a[n])=0
所以a[n+1]+a[n+1]^2+...+a[n+1]^n=1-a[n+1]^(n+1)<1=a[n]+a[n]^2+...+a[n]^n
即fn(a[n+1])<fn(a[n])
因为fn(x)在(0,1)单增
所以a[n+1]<a[n]
所以{a[n]}单减有界，有极限
lim(n→∞)fn(x)=lim(n→∞)x*(1-x^n)/(1-x)=x/(1-x)
所以lim(n→∞)fn(1/2)=1
所以lim(n→∞)a[n]=1/2

幸苦了 还是有点不懂 为什么an属于0到
不是第一问的结论吗？你没证出来？

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