高数，为什么f(x)在[a,b]上除点x0外均连续，x0为f(x)在[a,b]的跳跃间断点，可以有结论原函数F(x)连续？

(高等数学)为什么F(x)在[a,b]上连续~

介值定理，又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一，闭区间连续函数的重要性质之一。在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间

你确定题目中第一项有1/2吗
假设f(x)=3,是常数函数,那么f"(m)=0
无论m取何值,都有
左侧=∫f(x)dx=3(b-a)
右侧=3/2
*
(b-a)
显然不成立,矛盾在于第一项的系数1/2
我可以99%的肯定题目是没有1/2的,除了上面的例子,更因为可以给出修改后题目(去掉1/2)的证明.
证明:
f(x)在(a+b)/2做泰勒展开到2介余项
f(x)=f((a+b)/2)+f'((a+b)/2)*(x-(a+b)/2)+[f"(ε)/2]*(x-(a+b)/2)^2
对f(x)在[a
b]上积分
∫f(x)dx
=∫f((a+b)/2)+f'((a+b)/2)*(x-(a+b)/2)+[f"(ε)/2]*(x-(a+b)/2)^2
dx
=(b-a)*f((a+b)/2)+∫[f"(ε)/2]*(x-(a+b)/2)^2
dx
(算一下,第2项积分是0)
因为f"(x)在[a,b]上连续,所以P<=f"(x)<=Q
(b-a)*f((a+b)/2)+∫f"(P)/2*(x-(a+b)/2)^2
dx
<=∫f(x)dx<=(b-a)*f((a+b)/2)+∫f"(Q)/2*(x-(a+b)/2)^2
dx
积分后(b-a)*f((a+b)/2)+1/24
(b-a)^3
f"(P)
<=∫f(x)dx<=(b-a)*f((a+b)/2)+1/24
(b-a)^3
f"(Q)
因为f"(x)在[a,b]上连续,必然存在m使
∫f(x)dx=(b-a)*f((a+b)/2)+1/24
(b-a)^3
f"(m)
这是考研数学的常见题型,一见到f
''(x)在[a,b]上连续,和这种熟悉的表述,就可以立即想到命题人的意图--利用f
''(x)在[a,b]上的上下限确定∫f(x)dx的区间,而这个区间恰好是f
''(x)的函数,再用一次f"(x)在[a,b]上连续,一定存在某个f"(m)
使等式成立.

额，我最近在复习高数，见到这个题，发表一下我的理解和观点哈，题主这个说法有错误，f(x)在x0点是跳跃间断点，那么它就不存在原函数了，积分出来的F(x)并不是它的原函数，因为在x=x0除不可导，即F'(x0)不存在，而f(x)在x=x0处有定义所以F'(x)和f(x)的定义域不一样， 不能说F(x)是f(x)的原函数。而F(x)确实又是连续的，因为在[a,b]上积分，其实是定积分，定积分的结果表示的是面积，F(x)是面积的变化曲线，积分是分成了n个小区间累加的，一个小区间的面积是f(x)*1/n，n趋近无穷大，所以面积趋近于无穷小，对总面积的影响趋近于0，所以在一点上，面积变化也趋近于0，即面积无变化，所以F(x)在x0点出连续，因为前后的面积变化速度不一样，所以F(x)左右导数不一致也就成了不可导的点了。

原函数都是连续的，因为既然他是原函数，必然可导，可导必连续，根本不需要你这些限制条件

楼上说错了 原函数可能不连续
有这个结论

连续一定可导，可导不一定连续，有原函数一定不是第一类间断点

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高数，为什么f(x)在[a,b]上除点x0外均连续，x0为f(x)在[a,b]的跳跃间断点，可以有结论原函数F(x)连续？视频