高数——函数极限与无穷小关系的问题

高数——函数极限与无穷小关系的问题~

无穷小本来就可以等于0
常数函数y=0也是无穷小，是无穷小中的一个特例。
我们强调的是，无穷小不一定就是0，但是可以是0。
我们当然不会说，无穷小绝对不能是0，那是扯淡。

首先 [√(1+xarcsinx)-√(cosx)][√(1+xarcsinx)+√(cosx)]= 1+xarcsinx-cosx
所以 f(x)=(1+xarcsinx-cosx)/[√(1+xarcsinx)+√(cosx)]
当x→0时，分母是有极限2的，所以我们考虑分子1+xarcsinx-cosx的极限就可以了
这一步把根号去掉了

当x→0时，要将函数极限与x^k比较，最好的办法是泰勒展开
只要保留第一个x项就可以了
arcsinx =x+O(*x^3);

cosx=1-x^2/2+O(x^4);

所以1+xarcsinx-cosx=1+ x(x+O(*x^3))-(1-x^2/2+O(x^4))
= (3/2)x^2+O(x^4)
因此f(x)= (1+xarcsinx-cosx)/[√(1+xarcsinx)+√(cosx)]
= [(3/2)x^2+O(x^4)]/ 2
= (3/4)x^2+O(x^4)

实际上，函数极限与x^k比较，最直接办法就是泰勒展开
这里其实是可以直接将 f(x)泰勒展开的
但是f(x)表达式比较复杂，所以第一步去除根号可以大大简化

而如果函数是由简单函数的和差积商等四则运算得到
也可以先对简单的函数泰勒展开，然后再用四则运算合成
例如x第二步中 xacrsinx 可以先计算acrsinx的泰勒展开，然后乘以x
那么泰勒展开的运算就大大简化

一些简单函数x→0时的x^k趋势是可以简单记住的，例如
sinx tanx arcsinx arctanx 这些函数和x 是等价的无穷小量
1-cosx 是和 x^2等价的无穷小量
exp(x)-1和 x等价的无穷小量
之后，处理极限问题就变得很方便

你是想问什么呢？这个命题明显是正确的，虽然这个命题对我们计算极限值的时候，似乎用处不大，不过在理论推导中应该有用处的。
这里是直接根据极限的定义来做的。还可以根据极限的性质之一：和差的极限等于极限的和差来做。
根据极限的性质，如果f（x）和g（x）都有极限。那么lim（f（x）+g（x））=limf（x）+limg（x）
lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）。根据这个性质，很容易就证明这个命题了。

必要性：如果lim（x→x0）f（x）=A，令a（x）=f（x）-A，则lim（x→x0）a（x）=lim（x→x0）（f（x）-A）=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）A=A-A=0，所以a（x）是x→x0的无穷小。而f（x）=A+a（x）

充分性也是一样证明。如果f（x）=A+a（x），a（x）是x→x0的无穷小，则lim（x→x0）a（x）=0
所以lim（x→x0）f（x）=lim（x→x0）（A+a（x）=lim（x→x0）A+lim（x→x0）a（x）=A+0=A

所以证明完毕。

无穷小是一个值，它表示当x趋于某个值时，a(x)趋于0，f（x)是逼近于A得变量，它减去A以后当然也逼近于0

这里的只是讨论f（x）这个函数在确定点x的值的取值趋势。。。
楼主所谓的俩常量加一起不等于一个变量，是没看到x是固定的吧

无穷小量不是一个很小的数，它是一个变量。

既然是一个函数，那么他就有连续的值，就是一个变量，而极限值A是一个常量，无穷小也是一个常量，那么，两个常量之和怎么会等于一个变量（f()）呢
无穷小不是常量，它是一个过程，你把无穷小当作常量就是错误得。没有任何一个常量是无穷小

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