莱布尼茨三角形是什么?

莱布尼茨三角形的规律是什么？~

世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：
1/1
1/2 1/2
1/3 1/6 1/3
1/4 1/12 1/12 1/4
1/5 1/20 1/30 1/20 1/5
1/6 1/30 1/60 1/60 1/30 1/6
1/7 1/42 1/105 1/140 1/105 1/42 1/7


则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）
A.1/132 B.1/360 C.1/495 D.1/660

B.1/360
其实这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数,下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数,以此类推,(图形可成等腰三角分布)
从上面可看得出来每行第一个数的分母就是这行的行数,第8行的第1个数是1/8,第9行的第一个数是1/9,第10行的第1个数是1/10.
再按照上面的规律,第9行的第2个数是等于第8行的第1个数减去第9行的第一个数(1/8-1/9)得1/72.
第10行的第2个数就等于第9行的第1个数减去第10行的第1数(1/9-1/10)得1/90
则第10行的第3个数就等于第9行的第2个数减去第10行的第2个数(1/72-1/90)得1/360

莱布尼茨三角形的规律

1
1/2 1/2
1/3 1/6 1/3
1/4 1/12 1/12 1/4
1/5 1/20 1/30 1/20 1/5
下面两个的和是上面那个
1/30=1/12-1/20

1666年，莱布尼茨写成“论组合术”(De ArtCombinatoria)一文，讨论了平方数序列
0，1，4，9 16，…
的性质，例如它的第一阶差为
1，3，5，7，…，
第二阶差则恒等于
2，2，2，…
等．他注意到，自然数列的第二阶差消失，平方序列的第三阶差消失，等等．同时他还发现，如果原来的序列是从0开始的，那么第一阶差之和就是序列的最后一项，如在平方序列中，前5项的第一阶差之和为 1＋3＋5 +7=16，即序列的第5项．他用X表示序列中项的次序，用Y表示这一项的值．这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想，可以看作是他微积分思想的萌芽．“论组合术”是他的第一篇数学论文，使他跻身于组合数学研究者之列．
1672年，惠更斯给莱布尼茨出了一道他自己正同别人竞赛的题目：求三角级数(1，3，6，10，…)倒数的级数之和
莱布尼茨圆满地解决了这一问题，他是这样计算的：
初次成功激发了他进一步深入钻研数学的兴趣．通过惠更斯，他了解到B．卡瓦列里(Cavalieri)、I．巴罗(Barrow)、B．帕斯卡(Pascal)、J．沃利斯(Wallis)的工作．于是，他开始研究求曲线的切线以及求平面曲线所围图形的面积、立体图形体积等问题．1674年，他学习R．笛卡儿(Descartes)几何学，同时对代数性发生了兴趣．这一时期，他检索了已有的数学文献．
对于当时数学界密切关注的切线问题和求积问题，莱布尼茨在前人的基础上提出了一个普遍方法．这个方法的核心是特征三角形(characteristic triangle)．在帕斯卡、巴罗等人讨论过的特征三角形的基础上，他建立了由dx，dy和PQ(弦)组成的特征三角形．其中dx，dy的意义是这样的：在他1666年“论组合术”中所考虑的序列中，用dx表示相邻的序数之差，dy表示两个相邻项值之差，然后在数列项的顺序中插入若干dx，dy，于是过渡到了任意函数的dx，dy．特征三角形的两条边就是任意函数的dx，dy；而PQ 则是“P和 Q之间的曲线，而且是T点的切线的一部分”．如图1，T是曲线y=f(x)上的一点，dx，dy分别是横坐标、纵坐标的差值．
利用这个特征三角形，他很快就意识到两个问题：
(1)曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值(当这些差值变成无穷小时)之比．通过考虑图1中△PQR和△STU，发现△PQR∽△STU，从而有dy/dx=Tu/Su．也就是说，曲线y上过T点的切线的斜率是dy/dx．
(2)求积(面积)依赖于横坐标的无限小区间的纵坐标之和或无限窄矩形之和．
有了这些思想，他很快就推导出了一大批新结论．用他自己的话说就是，从特征三角形出发，“毫不费力，我确立了无数的定理”
根据莱布尼茨留下的遗稿可以判定，他是在1673年建立起特征三角形思想的．他将特征三角形的斜边PQ用“dS”表示，这样特征三角形又称为微分三角形(differential triangle)其中 ds2=dx2+dy2．
利用特征三角形，莱布尼茨早在1673年就通过积分变换，得到了平面曲线的面积公式
这一公式是从几何图形中推导出来的，经常被他用来求面积．
1673—1674年，他给出了求一条曲线y=y(x)绕x轴旋转一周所形成的旋转体的表面积A的公式
同时，他还给出了曲线长度公式
在求面积问题方面，莱布尼茨深受卡瓦列里“线由无穷多个点构成，面由无穷多条线构成”思想的影响，认为曲线下的面积是无穷多的小矩形之和．1675年10月29日，他用“∫”代替了以前的和符号“Omn”(“∫”是Sum 和)的第一个字母“s”的拉长)，用∫ydx表示面积，在这份手稿中，他还从求积出发，得到了分部积分公式
1676年11月，他得出了公式
其中n是整数或分数(n≠-1)．
莱布尼茨的积分方面的工作是与微分方面的工作交叉进行的．
由于研究巴罗的著作，以及引入特征三角形，莱布尼茨越来越强烈地意识到，微分(主要是导数、求切线)与积分(求和)必定是相反的过程．在1675年10月29日的手稿中，他就注意到，面积被微分时必定给出长度，因此他开始探讨“∫”的运算(积分)和“d”的运算(微分)之间的关系，认识到要从y回到dy，必须做出y的微差或者取y的微分．经过这种不充分的讨论，他断定一个事实：作为求和的过程的积分是微分的逆．这样，莱布尼茨就第一次表达出了求和(积分)与微分之间的关系．
莱布尼茨于1675—1676年给出了微积分基本定理(后来又称为牛顿-莱布尼茨公式)
(A为曲线f下的图形的面积．)
于1693年给出了这个定理的证明．以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别地加以研究的．卡瓦列里、巴罗、沃利斯等许多人得到了一系列求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果，但这些结果是孤立、不连贯的．虽然他们已开始考虑微分和积分之间的关系，然而只有莱布尼茨和牛顿(各自独立地)将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者的内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算．而这正是建立微积分学的关键所在．只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学．并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则．
莱布尼茨于1684年10月发表在《教师学报》(Acta erudito-rum)上的论文，题目是“一种求极大值与极小值和求切线的新方法，它也适用于无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算”(Nova Methodus pro Maximis et Minimis，itemque tangentibus，quae necfractas，necirrationales quantitates moratur，et singularepro illis Calculi genus)，在数学史上被公认为是最早发表的微积分文献．
早在1677年7月11日前后及11月左右，莱布尼茨明确定义了dy为函数微分，给出了dy的演算规则：
“如果a是给定的常数，则da=0，dax=adx；
加法和减法 v=z—y＋w＋x，dv=dz-dy+dw＋dx；
乘法 y=vx，dy=vdx+xdv
在1676—1677年的手稿中，他利用特征三角形分析了曲线切线的变化情况：对于曲线v=v(x)，当dv与dx之比为无穷大时，切线垂直于坐标轴(x轴)．当dv与dx之比等于0时，切线平行于x轴，当dv=dx≠0时，则切线与坐标轴成45°角，他指出，对于曲线v，当dv=0时，“在这个位置的v，明显地就是极大值(或极小值)”，他详细讨论了当dv＜0，而变成dv=0后又dv＜0时取极大值，反之则取极小值的情形．他还给出了拐点——曲线的凹凸情况发生变法的条件是d2v=0．
以后，莱布尼茨具体求出了各种各样复杂函数的微商(导数)．1686年，给出了对数函数，指数函数的微商．1695年求出了y=xx的微商dy=xx(1+lnx)，等等．
他引入了n阶微分的符号dn，并且给出了高阶微分的“莱布尼茨法则”：
其中
n！=1×2×3×…×(n-1)×n．
莱布尼茨在积分方面的成就，后来比较集中地写在1686年5月发表在《教师学报》上的一篇论文中，题为“潜在的几何与不可分量和无限的分析”(De Geometria recondita et Analysi Indivisi-bilium atque Infinitorum)．
品中出现了积分符号．同年，他引入了空间曲线的“密切”(osculating)这一术语，并给出了曲率ρ公式：
其中R为曲率半径．
1692年和1694年，他给出了求一族曲线 f(x，y，α)=0(α为曲线族参数)包络的普遍方法：在

中消去α．实际上，用微积分方法研究几何在微积分奠基者(牛顿、莱布尼茨等)那里已经开始了．切线、包络等几何问题在莱布尼茨手中是与微积分连在一起的．
无穷级数 在微积分的早期研究中，有些函数如指数函数等超越函数的处理相当困难，然而人们发现，若用它们的级数来处理，则非常有成效．因此，无穷级数从一开始就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的一个重要部分．有时使用无穷级数是为了计算一些特殊的量，如莱布尼茨曾用无穷级数表达式计算π(圆周率)．
在求面积的过程中，通过无穷级数表示圆在第一象限的面积，他得到了π的一个十分漂亮的表达式

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