三角形莱布尼茨公式怎么推导

~ 三角形莱布尼茨公式是用来计算三角形内任意一点的重心坐标的公式。其推导过程如下：
假设三角形的三个顶点分别为 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3)$，三角形的重心为 $G(x,y)$，则有：
$$overrightarrow{OG}=frac{1}{3}(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC})$$
其中 $O$ 为坐标系原点，$overrightarrow{OA}$ 表示向量 $overrightarrow{OA}$，$overrightarrow{OG}$ 表示向量 $overrightarrow{OG}$。
将向量 $overrightarrow{OA},overrightarrow{OB},overrightarrow{OC}$ 展开，得到：
$$begin{cases}overrightarrow{OA}=(x-x_1,y-y_1) overrightarrow{OB}=(x-x_2,y-y_2) overrightarrow{OC}=(x-x_3,y-y_3)end{cases}$$
代入上式得：
$$begin{aligned}overrightarrow{OG}&=frac{1}{3}[(x-x_1,y-y_1)+(x-x_2,y-y_2)+(x-x_3,y-y_3)] &=frac{1}{3}(3x-(x_1+x_2+x_3),3y-(y_1+y_2+y_3)) &=(frac{x_1+x_2+x_3}{3},frac{y_1+y_2+y_3}{3})end{aligned}$$
因此，三角形的重心坐标为 $(frac{x_1+x_2+x_3}{3},frac{y_1+y_2+y_3}{3})$，即：
$$G(frac{x_1+x_2+x_3}{3},frac{y_1+y_2+y_3}{3})$$
这就是三角形莱布尼茨公式的推导过程。

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