利用极坐标计算二重积分
可以用极坐标代替直角坐标。积分结果几何上为积分函数和积分区域所围成的体积。积分区域可以无限划分为更小的区域。
极坐标下，二元函数的几何意义是相同的，即二元函数与定义域围成的体积。积分区域不确定，大部分情况下，首先给定角度，对r做积分。积分对象变复杂，因为引入了三角函数。
当化为二次积分时通常先对r积分后对θ积分。偶尔情况有变。
扩展资料
1、当区域D是圆形、扇形、环形或者它们的一部分时，而被积函数为f（x²+y²）、f（x/y）、f（y/x）时可在极坐标系中计算二重积分。
2、二重积分的计算过程中，如何选择所化的二次积分的次序是一个要点。通常可根据图形结构特点选择能使所化的二次积分较为简单的那种次序。
3、在计算二次积分时，对第一个积分变量积分时，第二个变量应视为与其无关的常数。
参考资料来源：百度百科-二重积分
∫∫√R^2-X^2-y^2=∫[-π/2≤θ≤π/2] dθ ∫ [0≤ρ≤Rcos θ] √(R^2-ρ^2)ρdρ
=2∫[0≤θ≤π/2] ∫ [0≤ρ≤Rcos θ] √(R^2-ρ^2)ρdρ
令ρ=Rcost 则∫ [0≤ρ≤Rcos θ] √(R^2-ρ^2)ρdρ
=∫ [π/2≥t≥ θ] RsintRcost(-Rsint)dt=R³∫ [θ≤t≤π/2] sin²tdsint=R³[sin³(π/2)-sin³(θ)]/3
=R³[1-sin³(θ)]/3
∫∫√R^2-X^2-y^2=(2/3)R³∫[0≤θ≤π/2] [1-sin³(θ)] dθ=(2/3)R³(π/2-2/3)=2R³(3π-4)/9
=2∫[0≤θ≤π/2] ∫ [0≤ρ≤Rcos θ] √(R^2-ρ^2)ρdρ
大侠，我不明白，系数2怎么来的，望详细解答
-π/2≤θ≤π/2是堆成，化为0到π/2的积分的2倍即可
不明白大侠，能否具体说明啊，角度不就是从0≤θ≤π/2]，怎么还是-π/2≤θ≤π/2，麻烦您了
角度是-π/2≤θ≤π/2，因为y有负的，
我做了个图，不就是上半圆吗，没有下半圆啊，y怎么可能是负的呢，大侠有qq吗我实在是不明白。因为在圆域中，满足方程的只有上半圆啊
D为圆域是个圆 ，不是半圆
X^2+y^2=<RX 可改写为 (x-R/2)²+y²=(R/2)²
X^2+y^2=<RX指的是整个圆吗，那小于还有什么意义啊如果是这样的话，我可不可以不用系数二，范围定在-π/2≤θ≤π/2啊，为什么可以代换为两倍呢，我是真不会求详细解答
X^2+y^2=<RX 化成 是(x-R/2)²+y²≤(R/2)² 不管上半圆还是下半圆均符合不等式
可以用-π/2≤θ≤π/2，因为-π/2≤θ≤0 和0≤θ≤π/2 是对称，所以可以编程两倍，
如偶函数在【-a,a】上积分=2倍的【0，a】上的积分
也可以如此积分
∫ [0≤ρ≤Rcos θ] √(R^2-ρ^2)ρdρ=(-1/2)∫ [0≤ρ≤Rcos θ] √(R^2-ρ^2)d(R^2-ρ^2)
={(-1/3)√(R^2-ρ^2)³ } [0≤ρ≤Rcos θ]=(-1/3)[R³|sin³θ|+R³]= R³[1-|sin³(θ)|]/3
有绝对值的，那么-π/2≤θ≤0 是 R³[1+sin³(θ)]/3 积分
0≤θ≤π/2 是 R³[1-sin³(θ)]/3 积分 ，得分开计算
利用极坐标计算二重积分视频
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