一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以迈三级台级，从地面上到最上面一级台

一个楼梯共有10级台阶,规定每步可以迈一级台阶或二级台阶,最多可以迈三级台阶~

如果用n表示台阶的级数，a n表示某人走到第n级台阶时，所有可能不同的走法，容易得到：

① 当 n=1时，显然只要1种跨法，即a 1=1。

② 当 n=2时，可以一步一级跨，也可以一步跨二级上楼，因此，共有2种不同的
跨法,即a 2=2。

③ 当 n=3时，可以一步一级跨，也可以一步三级跨，还可以第一步跨一级，第二步跨二级或第一步跨二级，第二步跨一级上楼，因此，共有4种不同的跨法，即a 3=4。

④ 当 n=4时， 分三种情况分别讨论跨法：

如果第一步跨一级台阶，那么还剩下三级台阶，由③可知有a3 =4（种）跨法。

如果第一步跨二级台阶，那么还剩下二级台阶，由②可知有a2 =2（种）跨法。

如果第一步跨三级台阶，那么还剩下一级台阶，由①可知有a1 =1（种）跨法。

根据加法原理，有a 4= a1 +a2 +a3 =1+2+4=7

类推 ，有

a5= a2 +a3+a4 =2+4+7=13

a6= a3 +a4+a5 =4+7+13=24

a7= a4 +a5+a6=7+13+24=44

a8= a5 +a6 +a7 =13+24+44=81

a9= a6+a7+a8 =24+44+81=149

a10= a7 +a8 +a9=44+81+149=274

一般地，有

an=an-1+an-2+an-3

答：按此上楼方式，10级台阶共有274种不同走法。

用斐波那契数列，每步可以迈一级台阶或两级台阶

登上1个台阶1种方法，
登上2个台阶2种方法，
登上3个台阶3种方法，
台阶数量多时，这样思考：
登上4个台阶，如果先跨1个台阶还剩3个台阶3种方法再上去；如果先跨2个台阶还剩2个台阶2种方法再上去，3+2=5种。
登上5个台阶，如果先跨1个台阶还剩4个台阶5种方法再上去；如果先跨2个台阶还剩3个台阶3种方法再上去，5+3=8种。
登上6个台阶，… … 8+5=13种。
登上7个台阶，… … 13+8=21种。
… … … 21+13=34种
… … … 34+21=55种。
登上10个台阶， 55+34=89种。

每一项是前两项的和，规定每步可以迈一级台阶或两级台阶最多可以迈三级台阶的话，0节楼梯： 1 （0）


1节楼梯： 1 （1）

2节楼梯： 2 （11、 2）


3节楼梯： 4 （111、 12、 21、 3）

4节楼梯： 7 （1111、 121、 211、 31、

13、

112、 22 ）


7=4+2+1

4=2+1+1

2=1+1+0


1=1+0+0

每一项是前三项的和就OK了

从简单情况入手：
（1）若有1级台阶，则只有惟一的迈法：a₁=1；
（2）若有2级台阶，则有两种迈法：一步一级或一步二级，则a₂=2；
（3）若有3级台阶，则有4种迈法：①一步一级地走，②第一步迈一级而第二步迈二级，③第一步迈二级而第二步迈一级，④一级迈三级，a₃=4；
（4）若有4级台阶，则按照第一步迈的级数分三类讨论：①第一步迈一级台阶，那么还剩三级台阶，根据前面分析可知a₃=4种万法，②第一步迈二级台阶，还剩二级台阶，根据前面的分析可知有a₂=2种迈法，③第一步迈三级台阶，那么还剩一级台阶，还有a₁=1种．
∴a₄=a₁+a₂+a₃=7（种）
相应有
a₅=a₄+a₂+a₃=13（种）
a₆=a₅+a₄+a₃=24（种）
a₇=a₆+a₅+a₄=44（种）
a₈=a₇+a₆+a₅=81（种）
a₉=a₈+a₇+a₆=149（种）
a₁₀=a₉+a₈+a₇=274（种）
∴共有274种迈法．

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