已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A的坐标（4，0），C的坐标（0，-2）
解：（1）∵D在BC上，BC∥x轴，C（0，-2），
∴设D（x，-2）（1分）
∵D在直线y=-2 /3 x上，
∴-2=-2 /3 x，x=3，（3分）
∴D（3，-2）；（4分）
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、D、O；
∴ 16a+4b+c=0 c=0 9a+3b+c=-2 ，
解得： a=2/ 3 b=-8 /3 c=0 ；（7分）
故所求的二次函数解析式为y=2/ 3 x2-8 /3 x；（8分）
（3）假设存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形；
①若以OA为底，BC∥x轴，抛物线是轴对称图形，
∴点M的坐标为（1，-2）；（9分）
②若以OD为底，过点A作OD的平行线交抛物线为点M，
∵直线OD为y=-2/ 3 x，
∴直线AM为y=-2/ 3 x+8/ 3 ；
∴-2/ 3 x+8 /3 =2 /3 x2-8 /3 x
解得：x1=-1，x2=4，（舍去）
∴点M的坐标为（-1，10/ 3 ）；（11分）
③若以AD为底，过点O作AD的平行线交抛物线为点M，
∵直线AD为y=2x-8，
∴直线OM为y=2x，
∴2x=2/ 3 x2-8/ 3 x，
解得：x1=7，x2=0（舍去）；
∴点M的坐标为（7，14）．（12分）
∴综上所述，当点M的坐标为（1，-2）、（-1，10 /3 ）、（7，14）时，以O、D、A、M为顶点的四边形是梯形．
解：(1).由题设知，B(4，-2).
设直线y=-2/3x与BC边相交于D(x,-2).由相似三角形的对应边成比例，得：
1：x=|-2/3|：|-2|.
x=|-2|/|-2/3|.
=2/(2/3).
=3.
∴D点的坐标为：D(3,-2).
(2)∵抛物线y=ax^2+bx+c过A(4,0),D(3,-2),,O(0,0)三点，只要将三点的坐标代入其中，求出a,b,c即可。
代入O(0,0),得：c=0,
代入A(4,0),得：16a+4b=0, b=-4a (1)
代入D(3.-2),得：9a+3b=-2 (2),
解(1),(2)式，得：a=2/3.
b=-8/3
∴y=(2/3)x^2-(8/3)x. ----即为所求抛物线的表达式。
(3) 先求直线y=(-2/3)x 与抛物线y=(2/3)(x^2-4x)的,交点：
-x=x^2-4x
x^2-3x=0,
x(x-3)=0,
x1=0,
x-3=0,
x2=3.
求得直线与抛物线的两个交点为M1(0,0), M2(3.-2).
显然，M1(0,0)与原点重合，M2(3,-2)与D(3,-2)与D点重合。故不存在M点，使O,D,A,M为顶点的四边形为梯形。
∴设D（x，-2）（1分）
∵D在直线y=-2 /3 x上，
∴-2=-2 /3 x，x=3，（3分）
∴D（3，-2）；（4分）
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、D、O；
∴ 16a+4b+c=0 c=0 9a+3b+c=-2 ，
解得： a=2/ 3 b=-8 /3 c=0 ；（7分）
故所求的二次函数解析式为y=2/ 3 x2-8 /3 x；（8分）
（3）假设存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形；
①若以OA为底，BC∥x轴，抛物线是轴对称图形，
∴点M的坐标为（1，-2）；（9分）
②若以OD为底，过点A作OD的平行线交抛物线为点M，
∵直线OD为y=-2/ 3 x，
∴直线AM为y=-2/ 3 x+8/ 3 ；
∴-2/ 3 x+8 /3 =2 /3 x2-8 /3 x
解得：x1=-1，x2=4，（舍去）
∴点M的坐标为（-1，10/ 3 ）；（11分）
③若以AD为底，过点O作AD的平行线交抛物线为点M，
∵直线AD为y=2x-8，
∴直线OM为y=2x，
∴2x=2/ 3 x2-8/ 3 x，
解得：x1=7，x2=0（舍去）；
∴点M的坐标为（7，14）．（12分）
∴综上所述，当点M的坐标为（1，-2）、（-1，10 /3 ）、（7，14）时，以O、D、A、M为顶点的四边形是梯形．
解：（1）∵D在BC上，BC∥x轴，C（0，-2），
∴设D（x，-2）（1分）
∵D在直线y=-23x上，
∴-2=-23x，x=3，（3分）
∴D（3，-2）；（4分）
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、D、O；
∴16a+4b+c=0c=09a+3b+c=-2，
解得：a=
23b=-
83c=0；（7分）
故所求的二次函数解析式为y=23x2-83x；（8分）
（3）假设存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形；
①若以OA为底，BC∥x轴，抛物线是轴对称图形，
∴点M的坐标为（1，-2）；（9分）
②若以OD为底，过点A作OD的平行线交抛物线为点M，
∵直线OD为y=-23x，
∴直线AM为y=-23x+83；
∴-23x+83=23x2-83x
解得：x1=-1，x2=4，（舍去）
∴点M的坐标为（-1，103）；（11分）
③若以AD为底，过点O作AD的平行线交抛物线为点M，
∵直线AD为y=2x-8，
∴直线OM为y=2x，
∴2x=23x2-83x，
解得：x1=7，x2=0（舍去）；
∴点M的坐标为（7，14）．（12分）
∴综上所述，当点M的坐标为（1，-2）、（-1，103）、（7，14）时，以O、D、A、M为顶点的四边形是梯形．
解：（1） D在BC上，BC∥ 轴，C ∴设D（ ，-2）----------------------（1分）
D在直线 上 ∴ --------------------（2分）
∴D（3，-2）----------------------------------------------------------------------（1分）
（2） 抛物线 经过点A、D、O
∴ 解得： -------------------------------（3分）
所求的二次函数解析式为 -------------------------------------------（1分）
（3）假设存在点 ，使 、 、 、 为顶点的四边形是梯形
①若以OA为底，BC∥ 轴，抛物线是轴对称图形
∴点 的坐标为（ ）-----------------------------------------------------（1分）
②若以OD为底，过点A作OD的平行线交抛物线为点M
直线OD为 ∴直线AM为
∴ 解得： （舍去）
∴点 的坐标为（ ）----------------- ------------------（2分）
③若以AD为底，过点O作AD的平行线交抛物线为点M
直线AD为 ∴直线OM为
∴ 解得： （舍去）
∴点 的坐标为（ ）----------------------------------------------------------（1分）
∴综上所述，当点 的坐标为（ ）、（ ）、（ ）时以 、 、 、 为顶点的四边形是梯形
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