在数列An中，a1=根号3，an+1=根号（1+an²）-1/an（n∈N*）

数列an中，a1=1,根号an - 根号an+1=根号anan+1（n属于N）求an的通项公式~

解：设bn=√an b�6�9=1
∴bn - b(n+1)=bn b(n+1)
带入求值 b�6�9=1 b�6�0=1/2 b�6�1=1/3 b�6�2=1/4 ....
用数学归纳法证明bn=1/n
①当n=1时，bn=√an=1
②假设当n=k（k∈N*）时，bk=1/k
那么，bk=（bk + 1）bk+1
bk+1=bk/（bk + 1）=1/k/（1/k + 1）=1/(k+1)
即当n=k+1时，bn=1/n 也成立
根据①和②，可知bn=1/n对任何n∈N*都成立
∴bn=1/n
an=1/n�0�5

解析如下:
显然an≥1，从而an+1≥2，（n=1，2，3，…）。
因为|an+1−an＝|1+an−1+an−1|=11+an+1+an−1|an−an−1|≤12|an−an−1|，（n=2，3，…），所以{an}是压缩数列，从而{an}收敛，设limn→∞an＝a，则a≥2。
an为一个单调数列。单调数列必有极限，极限具有唯一性。那么就an+1的极限=an的极限，取数列的极限为A。A+√（1-A）=0解出一元二次方程A就是数列的极限。
本题可以证明数列{an}是压缩数列，从而得到数列{an}的收敛性；再利用递推公式可以计算极限值；本题可以证明数列{an}是单调有界数列，从而得到其收敛性。
相关释义
数列（sequence of number），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。
著名的数列有斐波那契数列，三角函数，卡特兰数，杨辉三角等。

1 a1=√3 b1= arctana1 b1=π/3 (0<bn<π/2)
a2=[根号(1+a1^2)-1]/a1=√3/3 b2=arctana2=π/6
2 an+1=[根号（1+an^2)-1]/an=[根号(1+tanbn^2)-1]/tanbn=(1-cosbn)/sinbn
∴ tanbn+1=sinbn+1/cosbn+1=(1-cosbn)/sinbn
整理得 cos(bn+1-bn)=cosbn+1
∵0<bn<π/2
∴bn+1-bn=-bn+1 即 bn+1=1/2bn
b1=π/3 ∴bn=2^(-n+1)π/3
3 Sn=2π/3[1-2^(-n)]≥(-1)^nλbn=(-1)^nλ2^(-n+1)π/3
整理不等式
（-1)^nλ≤2^n-1
当n为奇数 λ≥ 1-2^n
当n为偶数 λ≤2^n-1

原题应为：
a1=√3,a(n+1)=(an-√3)/[(√3an )+1]，求a2011=?

a1=√3,
a2=0/(3+1)=0,
a3=-√3/1=-√3
a4=-2√3/(-3+1)=√3= a1
a5=0/(3+1)=0=a2,
……
3个数一循环
所以a2011=a1=√3.

Bn=n/2 *兀+兀/4

1 a1=√3 b1= arctana1 b1=π/3 (0<bn<π/2)
a2=[根号(1+a1^2)-1]/a1=√3/3 b2=arctana2=π/6
2 an+1=[根号（1+an^2)-1]/an=[根号(1+tanbn^2)-1]/tanbn=(1-cosbn)/sinbn
∴ tanbn+1=sinbn+1/cosbn+1=(1-cosbn)/sinbn
cos(bn+1-bn)=cosbn+1
∵0<bn<π/2
∴bn+1-bn=-bn+1 即 bn+1=1/2bn
b1=π/3 则bn=2^(-n+1)π/3
3 Sn=2π/3[1-2^(-n)]≥(-1)^nλbn=(-1)^nλ2^(-n+1)π/3
（-1)^nλ≤2^n-1
λ≥ 1-2^n n=2k+i
λ≤2^n-1 n=2k

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