很难的一元二次方程

一元二次方程好难，学不会怎么办？比如这题的最后一步为什么等于2016？~

你参考看看！

一元二次方程测试题



说明本试卷满分100分，考试时间100分钟

一、填充题：（2’×11＝22’）

1、 方程x2＝ 的根为 。

2、 方程（x+1）2－2（x－1）2=6x－5的一般形式是 。

3、 关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为 。

4、 已知二次三项式x2+2mx+4－m2是一个完全平方式，则m= 。

5、 已知 +（b－1）2=0，当k为 时，方程kx2+ax+b=0有两个不等的实数根。

6、 关于x的方程mx2－2x+1=0只有一个实数根，则m= 。

7、 请写出一个根为1，另一个根满足－1<x<1的一元二次方程是 。

8、 关于x的方程x2－（2m2+m－6）x－m=0两根互为相反数，则m= 。

9、 已知一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0的两根为x1,x2，且x1+x2= ，则x1,x2= 。

10某木材场原有木材存量为a立方米，已知木材每年以20%的增长率生长，到每年冬天砍伐的木材量为x立方米，则经过一年后木材存量为 立方米，经过两年后，木材场木材存量为b立方米，试写出a,b,m之间的关系式： 。

二、选择题：（3’×8＝24’）

11、关于x的方程（m+1）x2+2mx－3=0是一元二次方程，则m的取值是（ ）

A、任意实数 B、m≠1 C、m≠－1 D、m>－1

12、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）

A、 若x2=4，则x=2 B、若3x2=bx，则x=2

C、 x2+x-k=0的一个根是1，则k=2

D、若分式 的值为零，则x=2

13、方程（x+3）（x－3）=4的根的情况是（ ）

A、无实数根 B、有两个不相等的实数根 C、两根互为倒数 D、两根互为相反数

14、一元二次方程x2－3x－1=0与x2+4x+3=0的所有实数根的和等于（ ）。

A、－1 B、－4 C、4 D、3

15、已知方程（ ）2－5（ ）+6=0，设 =y则可变为（ ）。

A、y2+5y+6=0 B、y2－5y+6=0 C、y2+5y－6=0 D、y2－5y－6=0

16、某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（ ）

A、100(1+x)2=800 B、100+100×2x=800 C、100+100×3x=800 D、100[1+(1+x)+(1+x)2]=800

17、已知一元二次方程2x2-3x+3=0，则（ ）

A、两根之和为－1.5 B、两根之差为－1.5 C、两根之积为－1.5 D、无实数根

18、已知a2+a2－1=0，b2+b2－1=0且a≠b，则ab+a+b=（ ）

A、2 B、－2 C、－1 D、0

三、解下列方程：（5’×5＝25’）

19、（x－2）2－3＝0 20、2x2－5x＋1＝0（配方法）





21、x(8＋x)＝16 22、






23、（2x－3）2－2（2x－3）－3＝0











四、解答题。

24、已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x2－17x＋66＝0的根。求此三角形的周长。（6’）













25、某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元，在搬运过程中不慎打碎了5盏，该店把余下的灯每盏加价4元全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏，求每盏灯的进价。（6’）











26、在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边C＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－2＝0的两根，（1）求m的值（2）求△ABC的面积（3）求较小锐角的正弦值。（8’）







初三一元二次方程训练题 1 姓名
一、填空题:(3、4、5 各3分,其余每空2分,共39分)
⒈ 把方程 化成一般式是 ；
2．关于 的方程 中, 二次项是 ; 常数项是 ;
一次项是 ;
⒊ 方程 的根是 ; ⒋ 方程 的根是 ;
⒌ 方程 的根是 ;
⒍ ⒎
⒏ ⒐
二、选择题(6分×3=18分)
1．在选择方程 ， 中,应选一元二次方程的个数为-------------------( )
A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个
⒉ 方程 的实数根的个数是------------------------------------------------------------------- ( )
A 1个 B 2 个 C 0 个 D 以上答案都不对
⒊ 方程 的根是 ----------------------------------------------------------------( )
A B C D
三、解下列方程 ( 8分×4=32分)
(因式分解法) (因式分解法)







(配方法) (求根公式法)





四、解关于 的方程 ( 11 分 )
(6分) (5分)






五、选作
⑴ 已知两数的和是 , 积是 , 求这两数.(10分)






⑵ 已知 、 、 为三角形的三边, 求证 ∶方程 没有实数根 (10分)








中考题型：观察下列等式： ，用含自然数 的等式表示这种规律为
1.填空题：（5分×5=25分）

（1）我国1978年末城乡居民的存款为X亿元；1988年末的存款比1978年末的存款的18倍还多4亿元，则1988年末的存款为 亿元．

（2）甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，然后甲再追乙，那么在追及问题中，甲、乙二人的路程差是 米，甲、乙的速度差是——；甲追及乙的时间是 ．

（3）一个两位数，个位上的数字为x，十位上的数为y，这个两位数可表示为＿，

如果把十位和个位上的数字对调，新的两位数可表示为 ．

（4）若甲、乙、丙、丁四种草药重量的比为0．1：1：2：4.7，设乙种草药的重量为x克，则甲、丙、丁四种草药的重量可分别表示为 克， 克， 克.

（5）甲、乙两人分别从相距20千米的A，B两地出发相向而行，甲先出发1小时，甲的速度是a千米/时，乙的速度是b千米/时，求乙出发多少时间，甲、乙二人相遇．若设乙出发X小时，甲、乙二人相遇，则依题意列方程应为

2．选择题：（5分× 3= 15分）

（1）甲、乙二人从同一地点出发去某地，若甲先走2小时，乙从后面追赶，则当乙追上甲时（ ）

A甲、乙二人所走路程相等 B．乙走的路程比甲多

C．乙比甲多走2小时 D．以上答案均不对

（2）一张试卷，只有25道选择题，做对一题得4分，做错～题倒扣 1分，某学生做了全部试题，共得70分，他做对了（ ）道题

A 17 B 18 C 19 D 20

（3）一件工作，甲队独做10天可以完成，乙队独做15天可以完成，若两队合做，（ ）

天可以完成

A．25 B．12．5 C．6 D．无法确定

3.列方程解应用题：（15分×4=60分）

（1）一条铁丝，第一次用去它的一半少 1米，第二次用去剩下的一半多 1米，结果还剩下3米，求这条铁丝原来长多少米？

（2）永盛电子有限公司向工商银行申请了甲乙两种贷款，共计68万元，每年付出利息8.42万元.甲种贷款每年的利率是 12％，乙种贷款每年的利率是 13％，求这两种贷款的数额是多少？

（3）甲列车从A地以50千米/时的速度开往B地，1小时后，乙列车从B地以70千米对的速度开往A地，如果A，B两地相距200千米，求两车相遇点距A地多远？

（4）某商店买进一批水果，进价每箱20元，计划零售时赚利30％，在卖出这批水果的又15箱时已盈利300元，问这个商店这次买进多少箱水果？



【素质优化训练】

1. 选择题：

（1）一个三位数的个位数字是7，若把个位数字移到首位，则新数比原数的5倍还多86，求这个三位数，设这个三位数的前两位数为x，则列出的方程应是（ ）．

A.=10x+7 B.700+x-86=5(10x+7)

C. =x+7 D.5(700+x)=x+7+86

（2）甲、乙二人在400米的环形跑道上练习跑步，若同向跑，甲a分钟可超过乙一圈；若反向跑二人每隔b分钟相遇一次，则甲、乙速度之比为（ ）

A. B.

C. D.

（3）甲、乙、丙三人各有贺年片若干张要互相赠送，先由甲送乙、丙，所送的张数等于乙、丙原来的张数；再由乙送给甲、丙现在的张数；后由丙送甲、乙现在的张数，互送后每人各有32张，则原来每人各有贺年片（ ）张

A. 甲16，乙28，丙52 B. 甲52，乙16，丙28

C. 甲28，乙16，丙52 D. 甲52，乙28，丙16

（4）将55分成四个数，如果第一个数加上1，第二个数减去1，第三个数乘以2，第四个数除以3，所得的数都相同，那么这四个数分别是（）

A.9,11,5,30 B.9,12,4,30

C.9,11,6,29 D.9,11,7,28



2.列方程解应用题：

(1)某学生骑自行车从学校去市内，先以12千米/时的速度下坡，又以9千米/时的速度通过平路，到达市内共用55分钟，返回时，他以8千米/时的速度通过平路，又以4千米／时的速度上坡，回到学校又用1小时.求从学校到市内有多少千米？



(2)汽车若干辆装运一批货物，如果每辆汽车装3.5吨，那么这批货物就有2吨不能运走；如果每辆汽车装4吨，那么装完这批货物后，还可以装其他货物一吨，这批货物共有多少吨？



(3)一船顺水航行24千米后又返回共用 2小时，而顺水航行8千米，逆水航行18千米，共用1小时，求水流速度和船在静水中的速度？



(4)甲、乙二人分别由A，B两地沿同一路线同时相向而行，在离B地12千米相遇后分别到达B，A两地，然后立即返回，在第一次相遇后6小时，两人又在离A地6千米处中遇，求A，B两地的距离及甲、乙二人的速度？



(5)一个六位数，左边第一位上的数字是1，这个六位数乘以3以后，仍是一个六位数,这个新的六位数恰好是把首位上的数字移到个位，而其余各位上的数字相应向左移动一位，求原来的六位数？



(6)有酒水混合液两种，甲种混合液中酒是水的3倍，乙种混合液中，水是酒的5倍现在要把这两种混合液混合成酒与水各占一半的溶液14升问甲、乙两种溶液应各取多少升？



(7)一组园丁要把两片草地的草割完，大的一片比小的一片大1倍.上午全体组员都割大片草地，下午一半组员仍留在大片草地，收工时正好把大片草地割完，另一半组员去割小片草地，收工时还剩下一部分没割完，第二天由一个园丁用一天时间恰好割完，问这组园丁共多少人？



(8)现在是10点和11点之间的某一时刻，在这之后6分钟，分针的位置与在这之前3分钟的时针的位置反向成一直线，求现在的时刻？



(9)某人下午六点多外出时，手表时针与分针的夹角为110°，下午约七点回家时，发现手表时针与分针的夹角又是110”，问他外出了多少时间？



(10)小王同时点燃粗细不同长短一样的两支蜡烛，已知粗的燃烧完要用4小时，细的燃烧完要用3小时，过一段时间后，小王把两支蜡烛同时熄灭，这时剩下的蜡烛细的是粗的，求小王点燃蜡烛的时间是多少？



(11)从两个重量分别为 12千克和 8千克并且含银的百分数不同的合金上各切下重量相同的两块，把所切下的每块与另一块剩余的合金混合，熔炼后合金含银的百分数相同，求所切下的合金的重量是多少？



【生活实际运用】

A市和B市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台已知从A市调运一台机器到C市、D市的运费分别为4百元和8百元；从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为3百元和5百元

(1)设B市运往C市机器x台，用x的代数式表示总运费W；

（2）若要求总运费不超过9千元,问共有几种调运方案？

（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？



【知识探究学习】

寻找数学解题捷径的五种方法（二）

4．巧避“非必求成份”，寻找解题捷径

在解题过程中，往往有些步骤和环节并不是非有不可的，这些可称为“非必求成份”，解题时若能明确解题的最终目的，巧妙避开“非必求成份”，就能省时省力，提高解题速度.

5.利用数形结合，寻找解题捷径数与形是可以相互转化为利用的，有些代数问题若借助于其几何意义，就能使问题直观明了，解法简化.







参考答案

【同步达纲练习】

1．（1）(18x+4); （2）6.5,0.5米/秒，13秒； （3）10y+x,10x+y; （4）0.1x,2x 4.7x;（5）a(x+1)+bx=20.

2．A C C

3.略

【素质优化训练】

1．（1）B；（2）D；

（3） D．（提示：由题意得，互送后每人各有32张，则3人共有96张，设甲有X张，则乙、丙共有（96-x）张，甲送乙、丙后剩下[x-(96-x)]张，乙送甲后，甲有2[x-(96-x)]张，丙送甲后，甲有4[x-(96-x)]张，列方程为：4[x-(96-x)]=32.解得x=52,同样方法能可求出乙、丙的张数）；（4）A.（提示：可设变化后的数为x,则四个数分别是x-1,x+1,,3x,可列方程为x-1+x+1++3x=55）.

2.(1)设平路长为x千米，则坡路长为12（）千米，学校到市内的路程为[12（）+x]千米，根据题意，得+=1，x=6. 12() +x=9.

(2)设这批货共有x吨，根据题意，得

(3)由题意可知逆水速度为18千米/时，设船顺水速度为x千米/时，则水流速度为千米/时，船在静水中的速度为千米/时，根据题意，得（1-1）x=8,x=24,.

(4)由题意可知第一次相遇用了3小时，甲速比乙速快2千米/时，设A、B两地距离为x千米，则甲速为千米/时，根据题意，得，x=30, =6.

(5)设原六位数的后五位数为x，则原六位数为100000+x，根据题意得3（100000+x）=10x+1,x=42875,100000+42857=142857.

(6)设甲种酒取x升，则乙种酒取 (14-x)升，根据题意，得x+(14-x)=7,x=8.14-x=6.

(7)设这组园丁共x人，根据题意，得 x=2(x+1),x=8.

(8)设现在的时刻是10点x分，根据题意，得6（x+6）+[60-(x-3)]=180,x=15.

(9)设他外出了x分钟，根据题意，得6x-x=220,x=40.

(10)解：令粗，细蜡烛的长度都为1，设点燃烛的时间是x小时，根据意，得1-=3（1-），x=2.

(11)设辅助未知数，设切下合金的重量是x千克，第一块合金含银a%，第二块合金含银b%，（a≠b）.根据题意，得，整理得5（a-b）x=24(a-b), ∵a≠b, ∴x=4.

【生活实际运用】

1.①W=2x+86 ②3种 ③8600元

1.方程有实根：判别式＝4(k-1)^2+4k(k-1)=(k-1)(2k-1)>=0，k>=1或k<=1/2
2.若方程有正根，则有两种可能，一是x1+x2>=0，或x1+x2<0且x1x2<0
若x1+x2>=0，x1+x2=-2(1-k)/k>=0 => k>=1或k<=0，显然当k=1时，方程有两个相等实根x=0（不合题意，舍去）
若x1+x2<0且x1x2<0，
则x1x2=-(k-1)/k<0 => k>=1或k<=0
且x1+x2=-2(1-k)/k<0 => 0<k<1
无解
综上可得k的取之范围是k>1或k<=1/2

若方程是一元一次的，则k=0，此时-2x+1=0，x=1/2，满足要求。
若方程是一元二次的，首先k不=0，由根的判别式
4(k-1)^2+4k(k-1)>=0,得到k>=1或k<=1/2且不为0
（1）若k>1，抛物线图像开口向上，与y轴的交点为(0,1-k),在y轴负半轴上，由图像可知方程必有一根为正，一根为负；若k=1,与y轴的交点为(0,0),得重根0.
（2）若0<k<=1/2,抛物线图像开口向上，与y轴的交点在正半轴上，此时方程有正根需要求对称轴在y轴右侧，即-2(k-1)/2k>0,仍得0<k<=1/2；
（3）若k<0,则同（1），方程必有一根为正，一根为负。
综上，k>1或k<=1/2

i.k=0 时 为一元一次方程 -2x+1=0 根为正实数 满足
ii.k!=0时 为一元二次方程 kx^2+2(k-1)x-(k-1)=0
另该方程无实数正根的k的集合为A{k|k非零实数}，由于k=0满足题意，则A的补集既是满足题意之解
a.虚根 Δ<0 4(k-1)^2+4k(k-1)<0 得 1/2<K<1
b.两非正数实根 则两根之积>=0，两根之和<=0， Δ>=0
即 -(k-1)/k>=0且-(k-1)/k<=0且4(k-1)^2+4k(k-1)>=0 解得k=1
综合a,b 得集合A为{k|1/2<k<=1}补集为{k<=1/2或k>1}

所以解得k的范围为k<=1/2或k>1

kx^2+2(k-1)x-(k-1)=0
方程的判别式为
[2(k-1)]^2+4k(k-1)
=4k^2-8k+4+4k^2-4k
=8k^2-12k+4
=4(2k^2-3k+1)
=4(k-1)(2k-1)

从反面考虑，
若方程没有实数正根
(1).方程无实根
判别式<0
(2).方程有实根，但是是非正数
所以
a.判别式>=0
b.k>0时，f(0)>0，对称轴<0
c.k<0时，f(0)<0,对称轴<0 (画图像就明白了～)

利用以上条件就可以算出问题的反面了，再把k的范围反一下就可以了
不要忘了k=0哦～

计算过程太复杂，你自己动手算算把～

kx^2+2(k-1)x-(k-1)=0，利用求根公式，b^2-4ac>=0；4*(k-1)^+(k-1)*k>0;(k-1)(4(k-1)+k)>0;(k-1)(5k-4)>0 ；则不是--得+就是++得+，则(k-1)<0,k<1;(5k-4)<0,k<0.8 ;(k-1)>0,k>1;(5k-4)>0,k>0.8,而要求的是+实数根，所以k>1，同大取大！

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