【高数凹凸性和极值问题】求函数的极值和凹凸性，题见下图。谢谢

求函数的单调性，凹凸性，求极值和拐点（高等数学导数）~

导数性质

带着绝对值符号，是没法积分的。举个最简单的例子：∫∣x∣dx;
当x<0时∫∣x∣dx=-∫xdx=-(1/2)x²+c；当x≧0时∫∣x∣dx=∫xdx=(1/2)x²+c；
不打开绝对值符号怎么积分？能这么做吗？∫∣x∣dx=∣(1/2)x²∣+c=(1/2)x²+c，显然不可以。
题目给的积分，因为0≦t≦1，0<x<1；对t积分时先把x看作某个定值，当 x≦t时∣t(t-x)∣=-t(t-x)
当t≧x时∣t(t-x)∣=t(t-x)；因此要分两段进行积分：

令f '(x)=x²-(1/2)=0，得唯一驻点x=√(1/2)=(√2)/2；当x1/2时f'(x)>0；
因此x=1/2是极小点，极小值f(x)=f(√2/2)=-(√2)/6+(1/3);
在(0, √2/2]单调减；在[√2/2，1)内单调增。在区间端点上，f(0)=1/3；f(1)=1/6；
当00；因此其图像在区间(0，1)是凹的曲线(向下凸)。

x=0时，有极小值0；

x=8/27时，有极大值4/27。

凸区间：（-∞，0），（0，+∞）

过程见图

y =x^(2/3)(1-x)^(1/3),
y' = (2/3)x^(-1/3)(1-x)^(1/3) - (1/3)x^(2/3)(1-x)^(-2/3)
= (2-3x)/[3x^(1/3)(1-x)^(2/3)]
驻点 x = 2/3, 使分母为 0 即导数不存在的点 x = 0， x = 1.
在 x = 0 点， 从左到右，y' 从负变到正，是极小值点， 极小值 y(0) = 0;
在 x = 2/3 点， 从左到右，y' 从正变到负，是极大值点， 极大值 y(2/3) = (1/3)2^(2/3);
在 x = 1 点， 从左到右，y' 不变号，不是极值点。
y'' = (-2/9)x^(-4/3)(1-x)^(1/3) - (4/9)x^(-1/3)(1-x)^(-2/3) + (2/9)x^(2/3)(1-x)^(-5/3)
= 2(1-2x)^2/[9x^(4/3)(1-x)^(5/3)],
令 y'' = 0, 得 x = 1/2， 使分母为 0 即二阶导数不存在的点 x = 0， x = 1.
在 x = 0 点， 从左到右，y'' 不变号，不是拐点;
在 x = 1/2 点， 从左到右，y'' 不变号，不是拐点;
在 x = 1 点， 从左到右，y''从正变到负，是拐点。
凹区间 (-∞, 1), 凸区间 (1，+∞)。

分别去求这个函数的一阶、二阶导数，再去求零点，判断符号等等。看看书上例题。祝你好运！

最好咨询一下自己的导师来解决

函数的极值我是弄不好你去问问你的老师吧或者同学们

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