公务员考试行测答疑：如何巧解一元二次函数最值问题

~ 在公务员考试的行政职业能力测验中，数学运算部分经常出现一类题目，它们通常包含“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等关键词。这类题目被统称为“极值问题”或“最值问题”。解决这类题目的核心思想是“等”、“均”、“接近”。中公教育专家通过以下例题来阐述这一思想：
例1：如果两个自然数的和为10，求这两个自然数的乘积的最大值。
通过枚举法分析：当两个自然数分别为1和9时，乘积为9；当两个自然数分别为2和8时，乘积为16；当两个自然数分别为3和7时，乘积为21；当两个自然数分别为4和6时，乘积为24；当两个自然数都为5时，乘积为25。显然，当两个自然数相等时，即都为5时，乘积达到最大值25。观察发现，两个自然数越接近，乘积越大。因此，两个数的差越小，它们的乘积就越大。利用这个原理，可以巧妙地解决一元二次函数的最值问题。
一元二次函数的基本形式为 。当 为正时，函数有最小值；当 为负时，函数有最大值。当时，函数达到最值。将 代入函数表达式中，可以求得具体的最值。
在数学运算中，一元二次函数的最值问题的常见考法如下：
例2：某期刊以每本2元的价格发行，可以发行10万份。如果单价每提高0.2元，发行量减少5000份。该期刊可能的最大销售收入是多少万元？
分析：销售收入 = 单价 × 发行量。设单价提高 次，销售总额为 ，则有 。将该函数表达式化简后，可以套用上述的一般形式，求得最值。化简过程可能较为复杂，计算量较大。建议采用“均”的思想。
例3：一厂家生产销售某新型节能产品，产品生产成本为168元，销售定价为238元。一位买家预定了120件产品，并提出如果产品售价每降低2元，就多订购8件。该厂家在这笔交易中的最大利润是多少元？
分析：总利润 = 单利润 × 销售量。原利润为70元，设降价 次，总利润为 ，则有 。观察发现 ，当 和 相等时，即 时， 取到最大值。求得此时 的值，可以得到最大利润。
例4：某旅行社组织外出旅游，30人起组团，每人单价为800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即每增加1人，每人的单价降低10元。当旅行团人数是多少时，旅行社可获得最大营业额？
分析：营业额 = 单价 × 人数。设增加 人，营业额为 ，则有 。化简后得到 ，观察发现 ，当 和 相等时，即 时， 取到最大值。此时旅行团人数为 ，即55人。
通过以上例题，可以总结出解决最值问题的方法：找到关键点，利用“等”、“均”、“接近”的思想，简化计算过程，从而快速求得最值。

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