如何才能帮助学生很好地理解与掌握各个较为抽象的数学概念

如何能够帮助学生由具体实例抽象出相应的数学概念~

[摘要]数学概念教学是在数学教学的第一个环节，占有重要的地位。如何做好新课标下数学概念的教学呢？本文结合新课标对数学概念教学及教师的要求，从课堂过程设计、哲学指导思想和具体的实施途径多角度进行了尝试与探讨，以促进高中数学教学的发展。
[关键词]新课标 数学概念 哲学思想 有效途径 变式
长期以来，由于受应试教育的影响，很多教师重解题轻概念，重习题课轻概念课，造成数学概念与解题的严重脱节，学生对概念模糊不清，一知半解，不能很好的理解和运用概念，数学课堂变成了教师进行学生解题技能培训的场所，而学生成了解题的机器。这种情形极大地影响了教学质量，学生也深陷题海，学习效率很低；更为严重的是这必将阻碍学生思维的发展和能力的提高，与新课程大力倡导的培养学生探究能力与创新精神已背道而驰。
1、新课标对数学概念教学的要求
《高中数学新课程标准》明确指出：让学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学本质。高中数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，了解它们产生的背景、应用和在后继学习中的作用，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解，体会其中的数学思想和方法。由于数学高度抽象的特点，应注重体现基本概念的来龙去脉，探究重点和核心概念的内涵和外延，在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。
2、新课标下数学概念教学所要求的教师定位
数学概念是数学大厦的基石，数学就是由许多彼此联系的概念经过逻辑推论构成的理论体系。概念教学作为数学教学的重要组成部分，也应顺应教育改革的潮流，不断创新。
新课标下教师要更新教学理念，重视概念课教学，更应该在具体教学过程中让学生体会到概念的普遍性以及概念中渗透的数学思想，同时激发起学生对数学学习的兴趣，提高学生思考、归纳和应用概念解决问题的能力。数学概念的教学不在于教师把概念讲的如何透彻，更不是把概念硬塞给学生，而是根据概念本身的背景和学生已掌握的知识去启发、指导以及鼓励学生主动去探索问题，在探究活动中学习和建构数学概念。因此，新课程下的数学概念课教学要求教师能够合理定位，实现角色的更新与升级。
在传统的数学概念教学中，教师往往只注重对概念的传授，忽视概念的背景介绍与对学生认知结构的分析，不能使学生从多个侧面、多个角度去理解概念，也就不能正确分析数学概念的本质属性与非本质属性。这样的教学只会使学生在头脑中形成一些孤立的知识块，不利于学生综合运用知识去分析和解决问题，违背了建构主义的学习理论。如果把数学概念课教学看着是一种电影文化活动，那么教师不仅仅只是概念这一剧本的投资推销者，更应扮演概念形成过程前的编剧、概念形成过程中的导演以及概念形成过程后的影评家。
3、基于课堂过程设计的概念课教学的思考
回归概念课的课堂，其过程不外乎三个阶段：概念引入阶段、概念探究阶段、概念应用阶段。如何提高数学概念课的有效性？笔者基于课堂过程的三个阶段加以了思考。
（1）概念引入阶段：问题的提出应具有实际意义，能引起学生的较大兴趣，触动学生的观察神经，直逼主题。通过矛盾、生活实际或者图形的直观感觉，给学生适当的感性认识，为突破难点做好铺垫，从而自然导入概念。
中学数学教学中引入新概念的途径有：一、用实际事例或实物、模型进行介绍，使学生对研究对象的认识由感性到理性，逐步认识它的本质属性，建立起新的概念。尤其在解析几何和立体几何概念教学中，例如在教学“柱体、锥体、台体”的概念时，先让学生观察有关的实物、图示、模型，在具有充分的感性认识的基础上再引入概念。二、从数学内在的发展需要引入概念也是一种有效的方法。例如“虚数”、“二面角”等概念的引入。三、由旧概念的引申或变形引导出新概念。如“向量的模”、“两点间的距离公式”、“直线的倾斜角”等一些关联概念。
（2）概念探究阶段：对概念进行探究，层层深入，发动学生，分组讨论，积极思考，在巡视过程中，启发引导学生，及时掌握学生的动向，协助学生记忆理解并形成概念。
数学新概念教学必须对概念进行仔细探究，讲清数学概念之内涵和外延，沟通知识的内在联系。概念中有哪些规定和条件？与其他概念比较有无容易混淆的地方？它们与过去学过的知识有什么联系？这些规定和条件的确切含义是什么？应当如何理解这些区别？这些概念能否加以引申和变形？这都是教师要重点思考的。
教师要及时地运用各种手段使学生加深对概念的理解。例如，可以让学生复述概念，也可以举一些相关的例子使学生掌握概念的内涵和外延，还可以同一些相关概念进行比较，以找出它们之间的联系与区别。如排列与组合、指数与对数、三角函数与反三角函数等概念教学时，用对比法可收到好的效果。也可用一些三字诀、四字诀等习惯术语帮助记忆，如三角函数的诱导公式，“奇变偶不变，符号看象限”等等。
（3）概念应用阶段：学生认识和形成概念，理解和掌握之后，巩固概念是一个不可缺少的环节。用精选实例、设计巧题、加强练习等方法巩固和运用概念，使学生通过概念的掌握与运用，最终掌握数学思想方法。
巩固的主要手段是多练习、多运用，只有这样才能沟通概念、定理、法则、性质、公式之间的内存联系。如学习了“椭圆的第一定义及第二定义”概念之后可举例练习，通过解题巩固原有概念。这些练习可以分两步走：先是从基本练习出发，帮助学生熟悉、掌握好新概念，新知识，在基本内容掌握好以后，再根据班级学生实际情况，设计一些小转弯、小变化和小综合的题目，以便学生灵活运用知识去解决问题。
4、基于哲学思想下的数学概念教学的思考
4.1利用普遍联系的观点
唯物辩证法认为，世间万物是普遍联系的。数学概念也不例外，数学中有许多概念都有着密切的联系，如平面角与空间角、方程与不等式、映射与函数、对立事件与互斥事件等等，在教学中应善于寻找、分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。
4.2利用矛盾的观点
唯物辩证法认为，矛盾是一切事物发展的动力与内在源泉。同样地数学概念也是在矛盾不断产生与不断解决的过程中产生、发展的。我们在数学概念的教学中，要善于寻找新旧概念的逻辑连接点，设置有效的问题情景，引起学生与原有知识的冲突，激发学生的积极性。
比如函数概念，初中给出的定义，是从运动变化的观点出发，认为函数是一个变量随另一个变量变化而变化的过程。那又是不是函数呢？矛盾出现了，教师可以以此为契点给出高中函数的定义。
4.3利用量变与质变的观点
唯物辩证法认为，任何客观事物都是质与量的有机统一体，事物的发展过程就是不断由量变到质变的变化过程。在数学概念教学中，我们应该有意识地渗透量变与质变的辩证思想。
例如，曲线的切线是割线的极限状态，从割线变成切线就是量变引起质变的过程。又如，圆锥曲线的离心率在数量的量变引起了图像由椭圆、抛物线、双曲线到两条相交直线的质变。
在教学中，利用量变引起质变的观点来理解数学概念，指导数学概念教学，更能触及概念的本质。
5、数学概念教学的有效方法初探
5.1数学概念的有效变式教学
变式是指相对于某种范式（如基本知识、典型问题、思维模式等）的变化形式，适当地变更问题情景，改变思维角度，显现概念本质属性。变式教学是运用变式手段帮助实现教学目的的过程，变式教学不仅可以增强学生的感性经验，提高对知识理解的准确性，而且有利于培养发散思维能力，提高思维的变通性。
概念的引入，可以加以变式数学。在讲授一个新的概念时，将概念还原到客观实际中，通过实例、模型或已有的经验等进行引入，通过变式移植概念的本质属性，使实际现象数学化，达到展现概念形成过程，促进学生概念形成的目的。
概念的辨析，可以加以教学变式。针对概念的内涵与外延设计辨析型问题，通过学生对这些问题的讨论与解决，达到明确概念本质、深化概念理解的目的。如对与函数这一概念的学习，学生往往误认为“只有变量随变量 的变化而变化， 才是 的函数”。把非本质属性“ 随 的变化而变化 ”作为本质属性，扩大了概念的内涵。这时，可以举肯定例证 ，取不为零的任意实数时，y都有唯一值1与之对应，这样能够纠正学生的错误认识。
概念的应用，也可以加以变式教学。教材中针对概念的例题、练习有很多，如果能变更问题的条件和结论，可以更加明确有关数学概念的应用范围和相互间的联系。如在学习了三角函数的概念后，可以设计以下题组，供学生探究。① ， ， ，的定义域分别是什么？②三角函数在各个象限的符号分别是什么？这样，学生在新的问题情景中运用刚获得的概念，毫无疑问，这能够进一步加深对概念的理解。
5.2数学概念的有效实验化教学
几何领域尤其是立体几何的概念，更加抽象难懂，为此我们可以通过设计数学实验，变抽象为具体。
例如异面直线的教学，可以设计这样的实验：用三色丝带在教室的角落里演示空间两直线的三种位置关系——平行、相交和异面。
例如异面直线垂直的教学，可以设计如下实验：让两学生各拿一只笔，先让它们垂直，得到交角为，然后其中一学生将他的笔平行移动，所成角度仍然不变，所以平移后的位置关系就叫两异面直线垂直。即空间两条直线不相交，且相互成，这样的位置关系就叫两异面直线垂直。
5.3 数学概念的有效启发式教学
概念课教学中，教师应根据概念数学内容和学生实际，提供机会，创造情景，善于提出问题，启发学生积极、主动思考，逐步培养学生独立思考、自主学习的能力。
如学习等比数列时，可设计启发性思考题，启动学生自主的观察、归纳、概括出等比数列的概念，并把类比的数学思想落到实处，一一引导学生对等差数列、等比数列进行概念类比、内涵对比、外延类比、函数公式的结构类比、概念应用中的解法类比等，使学生在类比和自主探索中学习、理解、掌握等比数列及相关概念。
6、结束语
总之，概念是最基本的思维方式，概念的教学及学生对概念的学习是学习数学的基础，值得好好地研究。因此，在中学数学概念的教学中，只有针对学生实际和概念的具体特点，注重引入，加强分析，重视训练，辅以灵活多样的教法，使学生准确地理解和掌握概念，才能有效地提高数学教学质量。

如何进行数学概念的教学数学是思维的科学，概念是思维的细胞，教好概念是教好数学的内在要求。概念教学搞不好，数学课程目标的实现就失去了根基。李邦河院士指出，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！”因此，我们必须重视数学概念的教学。然而，当前不重视概念教学是一个比较普遍的现象。“一个定义，三项注意”式的抽象讲解，在学生对概念还没有基本理解的时候就要求学生进行概念的综合应用，许多教师甚至认为教概念不如多讲几道题目更“实惠”。更令人担心的是，有些教师不知如何教概念。这一问题必须引起我们的充分重视。从教育与发展心理学的观点出发，概念教学的核心就是“概括”：将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念。数学教学要“讲背景，讲思想，讲应用”，概念教学则要强调让学生经历概念的概括过程。由于“数学能力就是以数学概括为基础的能力”，重视数学概念的概括过程对发展学生的数学能力具有重要的意义。一般而言，概念教学应经历以下7个基本环节：（1）背景引入；（2）通过典型、丰富的具体例证（必要时要让学生自己举例），引导学生开展分析、比较、综合的活动；（3）概括共同本质特征得到概念的本质属性；（4）下定义（用准确的数学语言表达，可以通过看教科书完成）；（5）概念的辨析，即以实例（正例、反例）为载体，引导学生分析关键词的含义，包括对概念特例的考察；（6）用概念作判断的具体事例，这里要用有代表性的简单例子，其目的是形成用概念作判断的具体步骤；（7）概念的“精致”，主要是建立与相关概念的联系，形成功能良好的数学认知结构。概念教学要尽量采用归纳式，给学生提供概括的机会。比如：“轴对称”概念的教学。本课安排在苏科版教材八年级上册。根据《数学课程标准》的要求，主要任务是通过具体实例认识轴对称。由于没有“对应点”概念，还不能以“对应点连线段的垂直平分线”定义对称轴，学生只能凭观察、操作找出对称轴，因此本课的“数学味”较淡。如何才能将这样的内容上出“数学味”？关键是要注意在学生现有认知水平基础上提供概括机会，让学生经历从具体实例中归纳共同特征，并让学生从概念出发解释自己操作的合理性。主要过程如下：第1步，列举生活中的对称实例，抽象出轴对称图形，说明通过“沿某条直线对折”可使直线两旁的部分相互重合，这里要注意例子的典型性、丰富性；第2步，以问题“你能举出与老师所举例子具有相同结构的生活实例吗”，引导学生举出具有轴对称形象的实例；第3步，概括所举例子的共同特征——存在一条直线l，沿l对折，两边的图形能够重合；第4步，下定义；第5步，辨析概念的关键词，即以正例、反例为载体，用变式推动概念的理解，如让学生举出常见的轴对称图形的例子并指出对称轴，讨论对称轴可能有多少条等；第6步，让学生制作一个轴对称图形，并要求学生说出每一步骤的目的和依据，特别要问学生“为什么要先折叠”，让学生知道折痕就是对称轴。这样，围绕轴对称概念的核心——对称轴，给学生的观察、操作、用概念说理等机会，使学生形成“轴对称图形”和“对称轴”的直观感受，为后续探索轴对称图形的性质提供基础。当然，这样的内容不必用太多的课时，实际上，学生完全有能力更快地进入轴对称图形性质的讨论。

更为一般地说，这事实上也就可以被看成课程改革逐步深入的具体表现和必然要求，即是应当对各类教学内容作出深入的分析，包括清楚地界定各个相关的“教学难点”，并通过积极的教学实践与深入的理论研究逐步地去突破这些难点。 第一，为了帮助学生很好地理解抽象的数学概念，笔者以为，一个十分重要的环节就在于努力作好“日常语言”与“数学语言”之间的必要过渡与转化。我们不应把“文字叙述看得过分‘神圣’，把它作为最高的表达形式”，特别是，我们不应要求学生不加理解地死记硬背各个概念的数学定义，恰恰相反，在数学教学中我们应当积极鼓励学生用自己的语言去说出对相应概念的理解与领悟（这也就是所谓的“淡化形式，注重实质”），当然，作为问题的另一方面，对于所说的“淡化形式”我们又不应理解为一概地不要文字叙述和语言叙述，或是始终留于学生的“日常语言”，而应努力促成由所说的“日常语言”向“数学语言”的必要过渡，包括使相应的数学概念逐步成为学生语言的有机成分（从而就能十分自然地应用所已学到的数学概念对日常生活中的现象或事件作出描述），以及通过交流与比较以引起各个学生对于所已建立的认识的必要反思与改进，从而达到更深层次的理解。 例如，就“圆周率”的教学而言，由于学生已经在事先进行了预习，我们在此就可首先要求学生用自己的语言对“圆周率”的涵义作出说明，教师更应通过必要的实例或直接的提问努力促进学生积极去思考以下的问题：“是否所有的圆其周长与直径的比都是相等的？” 另外，笔者以为，由“静态的”数学定义由“动态的”生成过程的过渡对于帮助学生掌握相关的数学概念也是十分有益的。例如，就半径的生成而言，我们既可任意地去联结圆心与圆上的任意一个点，也可通过由圆心向各个不同方向去引出射线并通过与圆周相交从而得到半径。显然，这样的生成过程——应当指明，我们在此未必一定要具体地去实行所说的各种运作，而也可以在头脑中“假想地”去进行这些“运作”，后者就是所谓的“活动的内化”，而由数学教育的现代研究我们已经知道，所说的“内化”事实上也就应当被看成形成任何真正的数学思维的一个必要前提——对于帮助学生更好地去认识半径的相关性质，即如半径是一条线段（而非射线或直线），以及半径在数量上的无限性，乃至巩固学生对于线段、射线与直线这三者相互之间关系（联系与区别）的已有认识都是十分有益的。 第二，由于这几堂课所采取的都是“学生事先预习（课本）”这样一种教学形式，因此，这或许就应被看成“新形势下应用这一传统教学方法”的重要涵义之一，即是应当注意突破书本所设定的框架，也即应当努力保持头脑的开放性。例如，就“圆的认识”而言，我们就不应满足于“理解半径、直径的特征及相互间的关系”，而还应当引导学生积极地去思考这样的问题：“除去书上所列举的各个特征与相互关系以外，圆的半径和直径还具有哪些性质？”事实上，从实际的教学情况看（在教学中教师布置了这样一个任务，即是要求学生具体地去找出圆形纸片与黑板上所画的圆的圆心），有不少学生已经注意到了这样一些性质，即如“就联结圆上任意两点所成的各种线段（弦）而言，直径是最长的”，“直径将圆分成了相等的两个部分”，等等。 最后，这显然也应被看成“保持头脑开放性”的又一重要涵义，即是应当十分注意培养学生的质疑精神，包括应用各种可能的方法对书上的相关结论作出必要的检验。

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