已知数列{an}的首项a1=3,前n项和为sn,且sn+1=3sn+2n

~ S(n+1)=3Sn+2n
S(n+1)-Sn=2Sn+2n
a(n+1)=2Sn+2n
an=2S(n-1)+2(n-1)
(n>=2)
相减得:
a(n+1)-an=2an+2
(n>=2)
a(n+1)=3an+2
(n>=2)
a(n+1)+1=3[an+1]
(n>=2)
从第三项开始,{an+1}是等比关系,后一项等于前一项的3倍.
S(n+1)=3Sn+2n
中,令n=1
S2=3S1+2=11
a2=S2-a1=8
a1+1=4,a2+1=9
a2+1不是a1+1的3倍.
{an+1}不是
等比数列
.
n>=2时,an+1=(a2+1)*3^(n-2)=9*3^(n-2)=3^n
an=
3
(n=1)
an=
3^n-1
(n>=2)
(用大括号括起来.)

（ⅰ）由sn+1=3sn+2n，sn=3sn-1+2（n-1），
两式相减，得：
an+1=3an+2，n≥2，
an+1+1=3（an+1），（n≥2），但a2+1=9，
a1+1=4，不符合上式，
∴{an+1}不是等比数列，
∴an+1=
4，n＝1
3n，n≥2
，
∴an＝
3，n＝1
3n?1，n≥2
．
（ⅱ）an+1=
4，n＝1
3n，n≥2
，
tn=4+9+27+…+3n=
3n+1?1
2
，
tn+
1
2
tn+2n
=
3n+1
3n+1?1+2n+1
=
1
1+(
2
3
)n+1?(
1
3
)n+1
，
bn＝(
2
3
)n+1?(
1
3
)n+1+1，
bn-bn+1=
2?2n
3n+1
＜0，n≥2，0＜bn＜bn-1，
1
bn
＞
1
bn?1
，
∴{
tn+
1
2
tn+2n
}为递增数列，∴n=1时，
tn+
1
2
tn+2n
取最小值
3
4
．

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