初中数学几何题(旋转)——200高分20分钟悬赏!

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初中数学几何题?~

1.
两全等三角形中对应边相等。
2.
同一三角形中等角对等边。
3.
等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.
平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.
直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

做CN⊥AD于N,
∵∠ADC=∠NDC=45°
那么△CDN是等腰直角三角形,
∴CN=DN=√2/2 (CD²=2CN²=2DN²
∴AN=AD-DN=2√2-√2/2=3√2/2
∴RT△ACN中:AC²=AN²+CN²=(3√2/2)²+(√2/2)²=5
那么AC=√5
∵∠ABC=90° AB=BC
那么△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ACB=45°,BC=√2/2AC=√10/2
∵∠ACB+∠DCN=45°+45°=90°
那么∠ACN+∠DCM=90°
做DM⊥BC,交BC延长线于M,那么∠DCM+∠CDM=90°
∴∠ACN=∠CDM,
∵∠ANC=∠DMC=90°
∴△ACN∽△CDM
∴AC/CD=CN/DM=AN/CM
那么√5/1=(√2/2)/DM=(3√2/2)/CM
DM=√10/10
CM=3√10/10
∴BM=BC+CM=√10/2+3√10/10=8√10/10=4√10/5
∴RT△BDM中:
BD²=BM²+DM²
=(4√10/5)²+(√10/10)²
=650/100
=26/4
BD=√26/2

题目一其实要求的是在等腰直角三角形ABC内一点P,使得AP+BP+CP最小,这个点是费马点,有关费马点的特性与证明你可以到其他网站看看,我这里提供一个参考链接:http://www.mathchina.com/Cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=2554 

费马点特性:与三角形的三个顶点所连的三个夹角等于120°; 

费马点证明(技巧性很高):在△ABC中任取一点P,将△APB绕点B逆时针旋转60°得到△A1BP1,则A1P1=AP,P1P=BP1=BP,从而PA+PB+PC=A1P1+P1P+PC<=A1C,(当且仅当A1、P1、P、C共线,即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时取等号); 

费马点做法:以AB,BC为边分别向正方形外作等边三角形ABC'和BCA',连AA'和CC'交于P,这个点其实就是所要求的点. 

解题:

延长AP与BC相交于E,容易知道,E为BC中点,且AE垂直于BC,∠BPE=60° 

设三角形的腰为x,即AB=AC=x,则BE=√2x/2, 

BP=CP=BE*2/√3,PE=BE/√3 

AP=AE-PE=BE-PE=√2x/2(1-1/√3) 

AP+BP+CP=2√2x/2√3+√2x/2(1-1/√3)=√2+√6,得x=2; 

问题2:这道题明显要硬算的。应该没有什么技巧。 

还要应用三角形求边公式:c^2=a^2+b^2-2abcosC,这个好像是高一的知识,但其实你是绕不开的,初中能靠辅助线做,但最终还是先把这个公式证明了一遍,然后做出来的。没有什么意义. 

CO^2=AC^2+AO^2-2AC*AOcosA, 

AC=3,BC=5,由勾股定理得AB=√34(出题的人够无聊,干嘛BC不为4呢,这样好算!!!),AO=AB/√2=√17 

CO^2=9+17-2*3*√17cos∠CAO=26-6√17cos(45°+∠CAB)=26-6√17(cosAcos45°-sinAsin45°)=26-6√17*√2/2(cosA-sinA)=26-3√34(3/√34-5/√34)=26+3√34*2/√34=32 

∴CO=4√2



①易知,E在∠B的平分线上。取坐标系,使B(0,0),A(a.0),C(0.a). 

设E(x,x),则y=√2x+2√[x&sup2;+(a-x)&sup2;]有最小值√2+√6. 

从y′=0,可以算得:x=1/2-√3/6.此x代入上式。 

√2x+2√[x&sup2;+(a-x)&sup2;]=√2+√6. 

即得a=2. 

(“易知”是可以证明的,用f(x,y).f′x=0,f′y=0.比较即得x=y) 

②易算,AB=√34.OA=OB=√(34/2).从余弦定理: 

OC&sup2;=3&sup2;+34/2+2×3×cos∠B=5&sup2;+34/2-2×5×cos∠B 

解得cosB=√(2/34).代入上式。OC=4√2.



http://hi.baidu.com/81662369/album/item/380daa22ccd9d16a93580768.html
如这个网址图
这个问题首先要求的是在三角形ABC内一点G,使得AG+BG+CG最小,这个点是个费马点(关于这个详细可以到网上去看看,费马点与三角形的三个顶点所连的三个角都等于120度)我这里只给你解的过程,并稍作说明
如图,以AB,BC为边分别向正方形外作等边三角形ABE和BCF,连AF和CE交于G,这个点其实就是所要求的点,(可以将AG旋转60度到AK,再说明三角形AKE全等于CGB,这样EK=BG,KG=AG,AG+BG+CG=EC=√2+√6,由四点共线得到最短)
过E作EM、EN分别垂直于CB、AB,设正方形边长为X
则EM=1/2X,EN=√3/2(X)
EM平方+MC平方=EC平方
解方程得X=2

E到A、B、C距离的最小值为√2+√6.所以E是正方形ABCD的中心点。

自己看图片把



想问一下,你初几了?搞奥赛?
这两个题用常规方法都能做(你也看到了,都帮你做出来了),如果学过奥赛就简单多了。
1.用费马点解决(不是我抄,的确这个最简单),根据对称性,E肯定在BD上,设边长x,AE=BE=√6/3,CE=√2/2—√6/3,解得x=2
2.这题用奥赛内容做超快(上面死算的别吐血啊),AB=√34,AO=BO=√17,下面要用到个定理,对边的乘积和等于对角线的乘积!√34*CO=8√17,解得CO=4√2!


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