求不定积分半角代换(万能代换)使用例子

求不定积分用万能代换公式~

解：设t=tan(x/2)，则dx=2dt/(1+t^2)，cosx=(1-t^2)/(1+t^2)，
∴原式=2∫dt/(3-t^2)。
而1/(3-t^2)=[1/(2√3)][1/(√3-t)+1/(√3+t)]，
∴原式=(1/√3)ln丨(√3+t)/(√3-t)丨+C。
∴原式=(1/√3)ln丨[√3+tan(x/2)]/[√3-tan(x/2)]丨+C。
扩展资料：
把所有三角函数都化成只有tan(a/2)的多项式之类的。用了万能公式之后，所有的三角函数都用tan(a/2)来表示，为方便起见可以用字母t来代替，这样一个三角函数的式子成了一个含t的代数式，可以用代数的知识来解。万能公式，架起了三角与代数间的桥梁。
具体作用含有以下4点：
1、将角统一为α/2；
2、将函数名称统一为tan；
3、任意实数都可以表示为tan(α/2)的形式（除特殊），可以用正切函数换元；
4、在某些积分中，可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分。
证明：如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。
设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。
这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。
由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。
因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

求采纳

答：例如:求：[1-(tanx)^2]/sin(2x) 的不定积分。
∫[1-(tanx)^2]dx/sin2x=∫[1-(tanx)^2]dx/{(2tanx)/[1+(tanx)^2]}=∫[1-(tanx)^4]dx/(2tanx)
=(1/2)∫cotxdx-(1/2)∫tanx[1-(cosx)^2](cosx)^2]dx=(1/2)[∫dsinx/sinx-∫tanxdtanx-∫dcosx/cosx]
=(1/2)[ln|sinx|-ln|cosx|-(1/2)(tanx)^2]+C
=(1/2)ln|tanx|-(1/4)(tanx)^2+C。

sin2x=2tanx/(1+tan^2x)
cos2x=(1-tan^2x)/(1+tan^2x)
就是用这个公式呀
一般用在分子分母全是三角函数的情况，且x前面的系数一样

---

求不定积分半角代换(万能代换)使用例子视频