f(x)"在[a,b]上可积" "在[a,b]上具有原函数" “在[a,b]上原函数连续” 什么关系？

函数f(x)在[a,b]上有界，是f(x)在[a,b]上可积的什么条件？~

连续是可积的充分非必要条件。
因为在区间上连续就一定有原函数，根据n-l公式得定积分存在。
反之，函数可积不能推出连续,只要函数在[a,b]上单调，或在[a,b]上有界且间断点个数有限，就可以积分。
f(x)在[a,b]上有界，是f(x)在[a,b]上可积的条件。
例如这个函数
f（x）=1（x是有理数）；0（x是无理数）
很明显，这个函数是个有界函数，函数值只有1和0两个值。
而这个函数在任何区间内都有无数个间断点、所以在任何区间内都不可积。
所以有界是可积的不充分条件。
扩展资料：
函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
参考资料来源：百度百科-函数

f(x)是[a,b]上的连续函数，所以可以设m<=f(x)<=M。
不妨设g(x)恒>=0，反之用-g(x)取代。
所以mg(x)<=g(x)f(x)<=Mg(x)
m∫g(x)dx=∫mg(x)dx=<∫f(x)g(x)dx<=∫Mg(x)dx=M∫g(x)dx
所以设∫f(x)g(x)dx=T∫g(x)dx
因为f(x)连续，所以对于任何一个T满足m<=T<=M，存在ξ使得f(ξ)=T。

所以证毕。

反例

区间[a,b]=[0,2pi]
g(x)=sin(x)
f(x)=sin(x)
∫f(x)g(x)dx=(1/2)∫(1-cos2x)dx=pi
f(ξ)∫g(x)dx=0

"f(x)在[a,b]上可积" 与"在[a,b]上具有原函数" 等价，“在[a,b]上原函数连续” 是前面两命题的必要条件。

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