数列极限的定义，为什么需要只要n大于N这个条件？？

高数数列极限定义中，为什么小n一定要大于大n呢，大于又有什么作用呢？~

例如，要证明数列an=1-1/n的极限是1，就是要证明对任意小（你想怎么小就能做到怎么小）的正数ε，总存在正数N，当n＞N时，有|an-1|＜ε，如取ε=0.1，要使|an-1|=|(1-1/n)-1|=|1/n|=1/n＜0.1，解得n＞10。所以只要取N=10，当n＞10时，就能保证|an-1|＜0.1。如果取n不大于N（即n≯10），比如让n=5，则|an-1|=|1-1/5-1|=1/5=0.2，显然0.2是不小于ε=0.1的，所以n一定要大于N，即第11项以后的各项与1的差的绝对值都小于ε=0.1。若再取一个你认为小的正数ε=0.001，可解得N=1000，当n＞1000，就能保证绝对值不等式|an-1|＜0.001成立，即数列的极限是1。
综上所述： N是相对于你所取定的任意小的正数ε，且使绝对值不等式|an-1|＜ε成立，我们费心寻找到的（解不等式求得的）那个正数，它是一个界（或曰标杆）。有了这个界N，只要n大于N，就能保证绝对值不等式|an-1|＜ε，也才能成功证明数列an的极限是1。反之n若小于N一丁点，就不能保证所给数列的极限是1。

N和ε的关系是，假如你说这个极限Xn趋近于5。
你说当我n超大的时候，大于你给出任何一个正数N的时候，你再随便给我一个最小最小的数，我用Xn-5得到的值比这个最小最小的数都小，那么在数学上这好像就是趋近于0了，就说明Xn的极限就是5了。
数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。
存在的条件：
单调有界定理 在实数系中，单调有界数列必有极限。
致密性定理 任何有界数列必有收敛的子列。

数列极限用通俗的语言来说就是：对于数列an，如果它的极限是a，那么，不管给出多小的正数ε，总能找到正整数N，只要数列的下标n>N，就能保证|an-a|<ε。
比如对于这样一个数列
an=n（当n《100时） 或an=1/n (当n>100时）
这个数列的极限是0。当对于任意给定的正数比如1/3，数列下标在1~100时，|an|>ε=1/3，但只要n>N=100，后面的所有项都满足|an|<1/3
从这个意义来说，数列有没有极限，前面的有限项（不管这有限项有多大）不起决定作用。

就是极限与前N项无关

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