一元一次方程有哪些典型应用呢？

~ 前面我们已经讲过，一元一次方程的应用之储蓄与利润问题。一元一次方程的应用——储蓄与利润问题
今天，我们将讲讲一元一次方程应用之比例、分配与工程问题。
一、知识储备
1、未知数的设法：
直接设：把问题中所求的未知量设为未知数
间接设：把与所求未知量有关的特定量设为未知数，哪一种便于使用已知条件列出比较简单的方程，我们就选用那种未知数的设法
2、工程问题的三个量的关系：工作总量=工作时间×工作效率=1
工作效率=工作总量÷工作时间=1÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率=1÷工作效率
注意：总的工程量看作单位"1".
二、问题探究
1、比例问题
例1.一根长为24cm的铁丝，围成一个长与宽的比为2：1的长方形，求长方形的面积。
等量关系：长方形的周长之和等于铁丝的长。
解：设长方形的长为2x，宽为x.则
2×（2x+x）=24
解得：x=4cm
例2.黑火药是由硫磺、木炭、火硝三种原料配制而成，三种原料的质量比是2：3：15.若要配制150千克的黑火药，则这三种原料各需要多少？
解：设三种原料中硫磺需要2x千克，木炭需要3x千克，火硝需要15x千克。则
2x+3x+15x=150
解得：x=7.5千克
木炭需要：3×7.5=22.5千克
火硝需要15×7.5=112.5千克
2、分配问题
例1.有甲、乙两队，甲队有28人，乙队有32人，从乙队调若干人到甲队，若要使甲、乙两队人数相等，求乙队调往甲队的人数。
解：设乙队调往甲队的人数为x人。则
28+x=32-x
解得：x=2人
例2.七年级的同学去植树，在甲处植树有27人，在乙处植树有19人，现在另调20人加入他们。使得在甲处植树的人数是在乙处植树的人数的2倍，求应调往甲、乙两处的人数。
解：设调往甲的人数为x，则调往乙处的人数为20-x。则：
27+x=2×(19+20-x)
解得：x=17人
调往甲的人数为17人，
调往乙处的人数为20-17=3人。
例3.一个方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1立方米木料可以做方桌的桌面40个或做桌腿240条，现有10立方米的木料，那么应用多少立方米的木料制作桌面，多少立方米的木料制作桌腿才能使桌面、桌腿正好配套？
解：设应用x立方米的木料制作桌面，10-x立方米的木料制作桌腿才能使桌面、桌腿正好配套,则：
4×40x=240(10-x)
解得：x=6立方米
制作桌面的木料为：6立方米，
制作桌腿的木料为：10-6=4立方米。
3、工程问题
例1.一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，甲乙合作需要多少天完成？
分析：总的工程量看作单位"1".
等量关系：工作总量=工作时间×工作效率=1
工作效率=工作总量÷工作时间=1÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率=1÷工作效率
解：设甲乙合作需要x天完成，则：
1=x×(1/20+1/30)
解得：x=12天
例2.一项工作，甲单独做需4天完成，乙单独做需6天完成，甲、乙合作完成后共得报酬450元，按个人完成的工作量计算报酬，则甲、乙分别应得多少元？
等量关系：工作总量=工作时间×工作效率=1
工作效率=工作总量÷工作时间=1÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率=1÷工作效率
解：设甲乙合作需要x天完成，则：
1=x×（1/4+1/6）
解得：x=2.4天
甲完成的工作量=2.4×1/4=0.6
乙完成的工作量=2.4×1/6=0.4
甲分得的钱：0.6×450=270元
乙分得的钱：0.4×450=180元
练习
1.甲、乙、丙三个工人每天生产的零件个数比为3：4：5，丙生产的零件个数比甲、乙二人生产的个数和少932，那么乙每天生产多少个零件？
2.甲、乙、丙三人每天加工的零件数情况如下：甲、乙之比为4：3，乙、丙之比为6：5，又知甲和丙的和比乙的2倍多12件，求甲、乙、丙三人每天加工的零件数
3.有两个长方形，第一个长方形的长与宽和第二个长方形的长与宽的长度按顺序比为
8：6：4：3，已知第一个长方形的周长比第二个长方形的周长长56cm，求较大的长方形的面积。
4.有甲、乙两队，甲队有28人，乙队有32人，从乙队调若干人到甲队，若要使甲队的人数比乙队的4倍还多5人，求乙队调往甲队的人数。
5.甲、乙两个仓库共储存了45吨药品，现在要从甲仓库中调出库存药品的60%，从乙仓库中调出40%援助灾区，结果乙仓库中所余的药品比甲仓库所余药品多3吨。求甲、乙两个仓库原来所存的药品的重量。
6.用铝片做听装易拉饮料瓶，每张铝片可制瓶身16个或瓶底43个，一个瓶身配两个瓶底，现有150张铝片，用多少张铝片制作瓶身，多少张铝片制作瓶底，可以正好制成成套的饮料瓶？
7.一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，如果先由甲单独做5天，剩下的工作由甲乙合作需要多少天完成？
8.一项工作甲单独做20小时完成，乙单独做24小时完成，丙单独做12小时完成，甲、乙先合作10小时，丙再单独做几小时可以完成？
答案
1.解：设甲工人每天生产的零件个数为3x,乙工人每天生产的零件个数为4x，丙工人每天生产的则件个数为5x.则
5x+932=3x+4x
解得：x=466个
乙工人每天生产的零件个数为4×466=1864个。
2.分析：甲、乙之比为4：3，乙、丙之比为6：5，所以甲：乙：丙=8:6:5
解：设甲每天加工的零件数为8x,乙每天加工的零件数为6x，丙每天加工的零件数为5x。则
8x+5x=2×6x+12
解得：x=12件,
甲每天加工的零件数为8×12=96件,
乙每天加工的零件数为6×12=72件，
丙每天加工的零件数为5×12=60件。
3.解：设第一个长方形的长为8x,宽为6x；第二个长方形的长4x，宽为3x。则
2×（8x+6x）-2×(4x+3x)=56
解得：x=14cm
大的长方形的长为8×14=112cm,大的长方形的宽为6×14=84cm,
大的长方形的面积为：112×84=9408平方厘米
4.解：设乙队调往甲队的人数为x人。则
28+x=4×（32-x）+5
解得：x=21人
5.解：设甲仓库原来所存的药品的重量为x吨，则乙仓库原来所存的药品的重量为45-x吨。则：
x×(1-60%)+3=(1-40%)×(45-x)
解得：x=24，
甲仓库原来所存的药品的重量为24吨，
乙仓库原来所存的药品的重量为：45-24=21吨。
6.解：设用x张铝片制作瓶身，150-x张铝片制作瓶底，可以正好制成成套的饮料瓶.则：
2×16x=43(150-x)
解得：x=86张
制作瓶身的铝片有：86张，
制作瓶底的铝片有：150-86=64张。
7.分析：总的工程量看作单位"1".
解：设剩下的工作由甲乙合作需要x天完成,则：
5×1/20+x×(1/20+1/30)=1
解得：x=9
8.等量关系：工作总量=工作时间×工作效率=1
工作效率=工作总量÷工作时间=1÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率=1÷工作效率
解:设丙再单独做x小时可以完成,则：
10×（1/20+1/24）+x×1/12=1
解得：x=1小时

• 举例6x+3x=4.5解方程。

本题为一元一次方程的计算，详细过程如下：

6x+3x=4.5,

(6+3)x=4.5,

9x=4.5,

X=0.5,

                                   

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此题验算过程如下：

左边=6x+3x=9x=9*0.5=4.5;

右边= 4.5,

左边=右边，即x=0.5是方程的解。

                                   

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• 例如X- 1/6=2-4/5，解方程。

本题为一元一次方程的计算，详细过程如下：

x-1/6=2-4/5,

x=2-4/5+1/6

x=6/5+1/6,

x=36/30+5/30=41/30,

                                   

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此题验算过程如下：

左边=x-1/6=41/30-1/6=41/30-5/30=36/30=6/5;

右边=2-4/5=10/5-4/5=6/5 ,

左边=右边，即x=41/30是方程的解。

                                   

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• 再如6（x-5）+2x=2 解方程，

本题为一元一次方程的计算，详细过程如下：

6(x-5)+2x=2,

6x-30+2x=2,

6x+2x=30+2,

8x=32,

X=4,

                                   

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此题验算过程如下：

左边=6(x-5)+2x=6x-30+2x=8x-30=8*4-30=32-3=2 ;

右边= 2 ,

左边=右边，即x=4是方程的解。

                                   

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• 知识拓展:

一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。一元一次方程只有一个根，一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。

• 一元一次方程的几何意义：

由于一元一次函数都可以转化为ax+b=0（a，b为常量，a≠0）的形式，所以解一元一次方程就可以转化为，当某一个函数值为0时，求相应的自变量的值。从图像上看，这就相当于求直线y=kx+b（k，b为常量，k≠0）与x轴交点的横坐标的值。

                                   

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