从1到100这100个自然数中,每次取出3个数，使这3个数成等差数列，共有多少种取法？

从1到100这100个自然数中，每次取出三个数，使这三个数成等差数列，共有多少种取法？~

第一列2种：1,50,99和2,51,100，公差为49——(100-49*2=2)
第二列4种：1,49,97和2,50,98和3,51,99和4,52,100，公差为48——(100-48*2=4)
第三列6种：1,48,95和2,49,96和3,50,97和4,51,98和5,52,99和6,53,100,公差为47——(100-47*2=6)
第四列8种：1,47,93和2,48,94和3,49,95和4,50,96和5,51,97和6,52,98和7,53,99和8,54,100,公差为46——（100-46*2=8）
。
。
。
。
以此类推，公差最小为1，有100-1*2=98种
因此一共有：
2+4+6+8+…+96+98
=2*(1+2+3+4+…+48+49)
=2*(1+49)*49/2
=2450种

100个数里按7整除余数可分成7类如下：
7n-6的数有106/7取整=15个
7n-5的数有105/7取整=15个
7n-4的数有104/7取整=14个
7n-3的数有103/7取整=14个
7n-2的数有102/7取整=14个
7n-1的数有101/7取整=14个
7n的数有100/7取整=14个

所以这里面任取两数和为7的倍数的取法有
(1)7n里的数任取两个：14*13/2=91
(2)7n-6和7n-1里各取一个：15*14=210
(3)7n-5和7n-2里各取一个：15*14=210
(4)7n-4和7n-3里各取一个：14*14=196

所以共有91+210+210+196=707种取法

1 2 3 1 3 5 1 4 7 1 5 9......1 48 95 1 49 97 1 50 99 --------49
种
2 3 4 2 4 6 2 5 8 2 6 10.....2 50 98 2 51 100 ------------49种
3 4 5 3 5 7 3 6 9 3 7 11......3 51 99 ---------------48种
4 5 6 4 6 8 4 7 10...... 4 50 96 4 51 98 4 52 100 --------------48种
5 6 7 5 7 9 5 8 11...... 5 50 95 5 51 97 5 52 99 ------------47种
6 7 8 6 8 10 6 9 12...... 6 51 96 6 52 98 6 53 100 -------------47种
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95 96 97 95 97 99 ----------- 2种
96 97 98 96 98 100 -------------- 2种

所以共有取法 2×（2+3+4+......+47+48+49）
＝2×（2+48+3+47+4+46+...+24+26+25+49）
＝2×（50×23+25+49）
＝2448种

1 2 4 2 4 8 3 6 12 4 8 16 5 10 20
1 3 9 2 6 18 3 9 27 4 12 36 5 15 45
1 4 16 2 8 32 3 12 48 4 16 64 5 20 80
1 5 25 2 10 50 3 15 75 4 20 100
1 6 36 2 12 72
1 7 49 2 14 98
1 8 64
1 9 81
1 10 100

所以有25种

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