一元函数在一点连续、可导、可微三者的关系为？

一元函数中，连续，可导，可微之间的关系？~

一元函数与多元函数连续，可导，可微之间的关系：
1、一元函数涉及的是两维曲线，多元函数涉及到的是至少是三维的曲面。
一元函数的可导可微只要从左右两侧考虑；
多元函数的可导可微，必须从各个角度，各个方向，各个侧面，进行前后、
左右、上下、侧斜等等方向的左右两侧考虑。
2、一元函数，只要曲线光滑--没有尖点、没有断点，切线垂直于x轴就行，
也就是不能斜率为无穷大；
多元函数的要求就是一方面曲面光滑--没有裂缝、没有皱褶。同样没有垂直
于各个坐标的垂直切线。
3、一元函数的求导，就是简单的沿着x轴考虑曲线变化率，考虑曲线的连续性、
可导性、凹凸性等等；
多元函数要考虑在某一个方向的特殊导数--方向导数。方向导数取得最大值
的方向，就是梯度的方向，而它的反方向一定存在一个力，整体存在一个力
场。例如温度增加得最快的方向，其反方向就是热流的方向；如电势增加得
最快的方向，反方向就是电场力的方向。这样的例子举不胜举。
4、一元函数的可导可微没有什么惊人区别，工程上的误差计算：
Δy
=
(dy/dx)Δx,
dy/dx
利用的是可导，
Δx,
Δy
运用的就是可微。
无论是牛顿的近似计算，还是用麦克劳琳级数计算，还是用泰勒技术计算，
也都是运用的可导性与可微性。
在多元函数中，就不一样了，u
=
f(x,y,z),
随便写出
du/dx,
du/dy,
dy/dz
都是错误的。我们可以有三种写法：
du
=
(∂u/∂x)dx
+
(∂u/∂y)dy
+
(∂u/∂z)dz
du/dt
=
(∂u/∂x)dx/dt
+
(∂u/∂y)dy/dt
+
(∂u/∂z)dz/dt
grad
u
=
(∂u/∂x)i
+
(∂u/∂y)j
+
(∂u/∂z)k
(i，j,
k
是单位矢量)
5、一元函数可微就是可导，可导就可微；
多元函数可导就含糊了，沿100万个方向可偏导，只要一个方向不可偏导，
就不可微，只要可微，就表示沿各个方向可偏导；
多元函数，在任何方向的导数都是偏导。没有全导的概念，只有偏导、偏
微、全微的概念。如果讲全导，则是意指上面的du/dt的情况。
6、在一元函数，我们可以计算极值点。
在多元函数中，当然仍然有极值点的计算。但是可能多出了一个极值面，
或极值曲线的概念。例如，在引力场中，物体下滑时，沿什么样的曲线最
快？这就要涉及多元函数的张量问题。
7、一元函数，通常是常微分的解；多元函数是偏微分的解。
总而言之，言而总之，多元函数考虑的情况是三维以上的情况，考虑的因素多了许多，基本上仍然是一元微积分的应用。本质上没有区别，只是在复杂程度上，麻烦了许多

　　 设 f(x) 在 x0 处可微，则存在常数 A，使
　 f(x0+h) - f(x0) = Ah + o(h)，
于是
　 lim(h→0)f(x0+h) = lim(h→0)[f(x0) + Ah + o(h)]
　　= f(x0) + lim(h→0)[Ah + o(h)]
　　= f(x0)，
即 f(x) 在 x0 处连续。

可导必连续，连续不一定可导，即可导是连续的充分条件，连续是可导的必要条件
一元函数中可导与可微等价，多元函数中可微必可导，可导不一定可微，即可微是可导的充分条件，可导是可微的必要条件

一元函数中可导与可微是等价的。

连续不一定可导，可导一定连续。
不连续一定不可导。

连续的条件：
左导数和右导数存在，且相等。

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