数列极限的定义证明

数列极限的定义证明如下：

1、极限是指某一个函数中的某一个变量，此变量在变大或者变小的永远变化的过程中，数列中的下标n仅取正整数，而对函数而言其自变量x取值为实数，函数极限f(X)与X的取值有关，而数列极限Xn则只是n趋向于无穷是Xn的值。

2、用极限定义证明数列极限的关键是对Πε>0，都能找到一个正整数N，当n>N时，有|an-a|<ε成立，这里的Πε>0，有|an-a|<ε成立。

而|an-a|可以看成是关于正整数n的函数，通过求解不等式|an-a|<ε，找到使|an-a|<ε成立，n所要满足的条件，亦即不等式|an-a|<ε的解集。该解集是自然数集N的无限子集，对同一个ε，N并不惟一。

3、数列有极限即当n趋向无穷大时，数列的项Xn无限趋近于或等于a，任意取一个值ε，是表明无论ε是多小的数，Xn与a的差总小于ε，就是Xn无限趋近于或等于a。对于数列an，如果它的极限是a，那么，不管给出多小的正数ε，总能找到正整数N，只要数列的下标n>N，就能保证|an-a|<ε。

4、利用定积分求极限；利用幂级数求极限；利用简单的初等函数的麦克劳林展开式，常能求得一些特殊形式的数列极限；利用级数收敛性判定极限，存在由于级数与数列在形式上可以相互转化等。

关于函数极限与数列极限的关系有一个定理，当X趋近于X0时，fx的极限是A的充分必要条件是：对任何收敛于X0的数列{xn}xn不等于x0，都有当n趋近于无穷时，fxn的极限是A。