数列极限定义

数列极限定义如下：

数列极限定义是：是数列极限的ε-N定义。

设{an}为数列，a为定数. 若对任给的正数ε，总存在正整数N，使n>N(或n≥N)时，有|an -a|<ε(或|an-a|≤ε)，则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，记作lim(n->∞)an=a, 或an->a(n->∞)，读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”. （若 {an}没有极限，则称{an}不收敛，或为发散数列）。

设数列{an}={1,1,1,……}，即数列的所有项都是1. 直观地，很容易看出，这个数列的极限等于1。 对任意项an，任给正数ε，都有|an-1|=0<ε。也就是说，最极端的例子，数列的所有项减去1的差的绝对值，都小于任给的正数ε，那么这个数列就以1为极限。

设数列{an}={1,2,1,1,1,……}，即，除了第二项，数列的其它项都等于1。也是非常直观地可以看出，这个数列的极限等于1。但这时就不是对任意项an，都有|an-1|=0<ε了。而是存在正整数N=2，使得n>N（如果取N=3，则使n≥N）时，就有|an-1|=0<ε了。因为|a2-1|=1，不能保证小于任给的正数ε。

就算数列{an}={1亿,2,1,1,1,……}，或者{1,1,1,3,1,1,1,……}，{1,9,……,2,1,1,1,……}，它们的极限也都等于1。第一个数列实质没有任何改变，只要取N=2，就与前面的推导过程同理；第二个数列则只要取N=4就可以了；最后一个数列，虽然2前面有很多项，但终究是有限个的，假设包括2在内有100亿个项，那么就取N=100亿，而后面的项都是1，因此仍满足极限等于1的定义。

现在再把第一个例子改写成数列{an}={a,a,a,……}，它的极限就是a。然后再把数列改成{a,a+1,a,a,a,……}或{100a,a+2,a,a,a,……}或{2a,3a,a,a+1,a,a,a,……}或{a+1,……,a+8,a,a,a,……}. 它们的极限也都等于a，其推导过程，和前面仍是一模一样的。

定义证明：

显然，根据定义，我们先要任给一个正数ε，并且确定一个N，使得当n>N时，就有|1/n-0|<ε. 那么0就是{1/n}的极限。从上面的那些简单例子，您应该能得到一个启发，解决这个问题的关键，就是找到N的位置。

然而现在并没有非常具体的数列，那该怎么办呢？事实上，|1/n-0|=1/n. 要使1/n<ε，只要我们能够构造一个关于N的函数f(N)，使得1/n<f(N)≤ε，就可以解决了。

接下来就是考查观察和思考能力的时候了。因为n>N，所以1/n<1/N。因此，只要构造f(N)=1/N≤ε，即N≥1/ε，就能反推出最后的结论。组织问题和解题过程如下：

证明：lim(n->∞)(1/n)=0。

证：任给正数ε，要使|1/n-0|=1/n<ε=1/(1/ε).(或1/n≤ε，但通常只取<ε)。

只要取N≥1/ε，就有，当n>N时，|1/n-0|<ε。得证！