已知数列{an}满足a1=2,an=2an-1+2(n∈N*,且n≥2)若数列{bn}满足bn=log2(an+2)设Tn是数列｛bn/an+2｝的前n

已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1，（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求证数列{an+1+2an}是等比数列；（~

解答：（Ⅰ）证明：由an+1=an+6an-1，得an+1+2an=3（an+2an-1）（n≥2），∵a1=5，a2=5，∴a2+2a1=15，故数列{an+1+2an}是以15为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）∵数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*），{an+1+λan}的前三项分别为5+5λ，35+5λ，65+35λ，依题意得（7+λ）2=（1+λ）（13+7λ），解得λ=-3或2．当n=2时，{an+2an-1}是首项为15公比为3的等比数列，当λ=-3时，{an-3an-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列；（Ⅲ）由（Ⅰ）得an+1+2an=5?3n，由待定系数法可得（an+1-3n+1）=-2（an-3n），即an-3n=2（-2）n-1，故an=3n+2（-2）n-1=3n-（-2）n．

（1）∵数列{an}满足an-1-2an+an+1=0（n∈N*且n≥2），∴数列{an}是等差数列，设公差为d，∵a1=2，a3=4．∴a3-a1=2d=4-2，解得d=1．∴an=2+（n-1）=n+1．由数列{bn}的前n项和为Sn=2bn-1（n∈N*）．当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=（2bn-1）-（2bn-1-1），化为bn=2bn-1．当n=1时，b1=2b1-1，b1=1．∴数列{bn}是等比数列，∴bn=2n-1．（2）由（1）知an=n+1，∴cn=[log2n]．当2k≤n＜2k+1时，[log2n]=k，k∈N．∴T2n=[log21]+[log22]+…+[log2(2n-1)]+[log22n]=([log221]+[log23])+([log222]+…+[log27])+([log223]+…+[log215])+…+([log22n-1]+[log2(2n-1+1)]+…+[log2(2n-1)])+[log22n]，∴T2n=2+2×22+3×23+…+(n-1)2n-1+n，2T2n=1×22+2×23+…+(n-2)2n-1+(n-1)2n+2n，两式相减得：-T2n=2+22+…+2n-1-n-(n-1)2n，∴T2n=(n-2)2n+n+2．

证：
n≥2时，
an=2a(n-1)+2
an+2=2a(n-1)+4=2[a(n-1)+2]
(an +2)/[a(n-1)+2]=2，为定值。
a1+2=2+2=4
数列{an +2}是以4为首项，2为公比的等比数列。
an +2=4×2^(n-1)=2^(n+1)
bn=log2(an +2)=log2[2^(n+1)]=n+1
bn/(an +2)=(n+1)/2^(n+1)
Tn=b1/(a1+2)+b2/(a2+2)+...+bn/(an+2)
=2/2²+3/2³+4/2⁴+...+(n+1)/2^(n+1)
Tn/2=2/2³+3/2⁴+...+n/2^(n+1)+(n+1)/2^(n+2)
Tn-Tn/2=Tn/2=1/2 +1/2³+...+1/2^(n+1) -(n+1)/2^(n+2)
Tn=1+1/2²+1/2³+...+1/2ⁿ- (n+1)/2^(n+1)
=1/2 +(1/2+1/2²+1/2³+...+1/2ⁿ) -(n+1)/2^(n+1)
=1/2 +(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2) -(n+1)/2^(n+1)
=3/2 -1/2ⁿ -(n+1)/2^(n+1)
<3/2
不等式成立。

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