证明:当x趋近于正无穷,x趋近于负无穷是,函数f(x)的极限都存在且等于A,则limf(x)=A的充要条件。(x趋近
解题过程如下:
证明:
∵limf(x)=A【x趋于无穷】
∴任给正数ε,存在正数M
当│x│>M时,有│f(x)-A│<ε
即当x>M时,有│f(x)-A│<ε
当x<-M时,也有│f(x)-A│<ε
∴limf(x)=limf(x)=A【x分别趋于正无穷与负无穷】
∵limf(x)=limf(x)=A【x分别趋于正无穷与负无穷】
∴对任意正数ε,存在正数M1
当x>M1时,有│f(x)-A│<ε
同样存在正数M2
当x<-M2,时,也有│f(x)-A│<ε
取M=max{M1,M2}
则当│x│>M时,有│f(x)-A│<ε
∴limf(x)=A【x趋于无穷大】
扩展资料证明函数周期的方法:
设f(x)是定义在数集M上的函数,如果存在非零常数T具有性质:f(x+T)=f(x),则称f(x)是数集M上的周期函数,常数T称为f(x)的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的,则称它是函数f(x)的最小正周期。
对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。
任何一个常数kT(k∈Z,且k≠0)都是它的周期。并且周期函数f(x)的周期T是与x无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期。
若f(x)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数,则K f(x)+C(K≠0)和1/ f(x)分别是集M和集{X/ f(x) ≠0,X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。
若f(x)是集M上以T*为最小正周期的周期函数,则f(ax+n)是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数,(其中a、b为常数)。
明:
∵
x趋向正无穷时,lim
f(x)
=
A
∴
任给ε>0,存在X1>0,当x>X1
时 |f(x)-A|
<
ε
∵
x趋向负无穷时,lim
f(x)
=
A
∴
对ε>0,
存在X2>0,当x<-X2
时 |f(x)-A|
<
ε
取
X=max(X1,X2),则
|x|>X
时 |f(x)-A|
<
ε
∴
x趋向无穷时,lim
f(x)
=
A
解题过程如下:
证明:
∵limf(x)=A【x趋于无穷】
∴任给正数ε,存在正数M
当│x│>M时,有│f(x)-A│<ε
即当x>M时,有│f(x)-A│<ε
当x<-M时,也有│f(x)-A│<ε
∴limf(x)=limf(x)=A【x分别趋于正无穷与负无穷】
∵limf(x)=limf(x)=A【x分别趋于正无穷与负无穷】
∴对任意正数ε,存在正数M1
当x>M1时,有│f(x)-A│<ε
同样存在正数M2
当x<-M2,时,也有│f(x)-A│<ε
取M=max{M1,M2}
则当│x│>M时,有│f(x)-A│<ε
∴limf(x)=A【x趋于无穷大】
扩展资料
证明函数周期的方法:
设f(x)是定义在数集M上的函数,如果存在非零常数T具有性质:f(x+T)=f(x),则称f(x)是数集M上的周期函数,常数T称为f(x)的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的,则称它是函数f(x)的最小正周期。
对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。
任何一个常数kT(k∈Z,且k≠0)都是它的周期。并且周期函数f(x)的周期T是与x无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期。
若f(x)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数,则K f(x)+C(K≠0)和1/ f(x)分别是集M和集{X/ f(x) ≠0,X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。
若f(x)是集M上以T*为最小正周期的周期函数,则f(ax+n)是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数,(其中a、b为常数)。
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