积分、微分、导数、极限和偏导的几何意义 还有他们之间的联系与区别 麻烦知道的说下 越详细越好

怎样理解多元函数，连续与偏导存在的关系，偏导连续之间的关系~

多元函数连续不是偏导存在的充分条件也不是必要条件。
而偏导连续则是更强的条件，即偏导存在且连续可以推出多元函数连续，反之不可。
下面来分析，首先大家需要了解这些定义都是人定义出来的，可以反映多元函数的部分特征。所以，只要掌握了这些定义的意义就可以看出其背后的本质，才能判断定义间的相互关系。
多元函数在某点可偏导，可是可能在这点沿不同方向的极限不同，所以不一定连续。
而连续函数的偏导是不是一定存在，这个例子在一元函数里也很常见，比如x的绝对值，在x=0的时候没有导数。
偏导连续（是偏导连续哦！而不是偏导数存在+函数连续！是偏导数存在且偏导数连续），是可以推出可微的。
而可微是很强的结论，因为可以用十分特殊的线性函数来逼近的话，很多特殊的反例就不见了，而线性函数是连续的，这由定义可以看出来。
所以，偏导存在且连续可以推出函数连续，反之不能。
反例沿用之前的反例，函数连续，但偏导不存在。

扩展资料：
x方向的偏导
设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或。函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

y方向的偏导
同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。

人们常常说的函数y=f(x)，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数。
但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量。
例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。
参考资料：百度百科---多元函数

偏导连续－>可微－>偏导存在。偏导指在平行于x轴 y轴方向有切线，可微指任意一个方向都有切线。

1、一元函数，可导就是可微，没有本质区别，完全是一个意思的两种表述：
可导强调的是曲线的斜率、变量的牵连变化率；
可微强调的是可以分割性、连续性、光滑性。

dx、dy: 可微性； dy/dx: 可导性

dy = (dy/dx)dx， 在工程应用中,变成： Δy = (dy/dx)Δx

这就是可导、可微之间的关系：
可导 = 可微 = Differentiable。
导数 = 微分 = Differentiation，Derivative
不可导 = 不可微 = Undifferentiable

【说穿了，可以说是中文在玩游戏，也可以说中文概念更精确性】

2、二元和二元以上的多元函数有偏导(Partial Differentiation)的概念，
有全导数、全微分(Total Differentiatin)的概念。
【说穿了，可以说也是中文在玩游戏，也可以说中文概念更有思辩性】
多元函数有方向导数(Directional Differentiation/Derivative)的概念

一元函数，无所谓偏导、全导，也没有全微分、偏微分、方向导数的概念。

3、对于多元函数，沿任何坐标轴方向的导数都是偏导数，
a、沿任何特定方向的导数都是方向导数。
b、方向导数取得最大值的方向导数就是梯度(Gradient)。
c、英文中有全导数的概念(Total Differentian),只是我们的教学不太习惯
这样称呼，我们习惯称为全微分，其实是完全等同的意思。

一元函数没有这些概念。偏导就是全导，全导就是偏导。

4、dx、dy、du都是微分，只有在写成du=(�6�8f/�6�8x)dx + (�6�8f/�6�8y)dy时，
du才是全微分，而dx、dy就是偏微分，只是我们不习惯这样讲罢了。
而�6�8f、�6�8x、�6�8y还是微分的概念，是df、dx、dy在多元函数中的变形。

x的单独变化会引起u的变化，du=(�6�8f/�6�8x)dx
y的单独变化会引起u的变化，du=(�6�8f/�6�8y)dy
其中的 �6�8f/�6�8x、�6�8f/�6�8y 就是二元函数f分别对x,y的偏导数。
�6�8f/�6�8x 就是由于x的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”；
�6�8f/�6�8y 就是由于y的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”。

x、y同时变化，引起u的变化是：
du=(�6�8f/�6�8x)dx + (�6�8f/�6�8y)dy
这就是全微分，所有原因共同引起为“全”。

总而言之，言而总之：
对一元函数，可导与可微没有本质区别；
对多元函数，可微是指所有方向可以偏导，可微的要求更高。

积分是一种化整为0 积0为整的 和式极限微分是一种近似过程导数是一种变化率极限是一种趋向过程

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