计算∫e^(-x^2)dx，积分区间0→＋∞？？？
试着用二重积极坐标算∫e^(-x^2)dx
通计算二重积:∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy.
D表示由原点,半径a圆周所围闭区域.
面计算二重积:
解:极坐标系,闭区域D表示:0≤r≤a,0≤θ≤2π
∴∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=∫∫e^(-r^2)*rdrdθ
=∫[∫e^(-r^2)*rdr]dθ
=-(1/2)e^(-a^2)∫dθ
=π(1-e^(-a^2))
面计算∫e^(-x^2)dx
;
设D1={(x,y)|x^2+y^2≤R^2,x≥0,y≥0}.
D2={(x,y)|x^2+y^2≤2R^2,x≥0,y≥0}.
S={(x.y)|0≤x≤R,0≤y≤R}.
画D1,D2,S图.
显D1包含于S包含于D2.由于e^(-x^2-y^2)>0,些闭区域二重积间等式:
∫∫e^(-x^2-y^2)dxdye^(-x^2-y^2)dxdye^(-x^2-y^2)dxdy.
∵∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=∫e^(-x^2)dx*=∫e^(-y^2)dy
=(∫e^(-x^2)dx)^2.
应用面结:∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=π(1-e^(-a^2))
∴∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-R^2)).
∴∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-2R^2)).
于面等式写:
(π/4)(1-e^(-R^2))e^(-x^2)dx)^2<(π/4)(1-e^(-2R^2)).
令R→+∞,式两端趋于同极限π/4,
∫e^(-x^2)dx
=sqrt(π)/2.
其:sqrt(π)表示根号π.(别处复制)
你可以试着用二重积分极坐标法算∫e^(-x^2)dx
可以通过计算二重积分:∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy.
那个D表示是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.
下面计算这个二重积分:
在极坐标系中,闭区域D可表示为:0≤r≤a,0≤θ≤2π
∴∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy=∫∫e^(-r^2)*rdrdθ
=∫[∫e^(-r^2)*rdr]dθ
=-(1/2)e^(-a^2)∫dθ
=π(1-e^(-a^2))
下面计算∫e^(-x^2)dx
;
设D1={(x,y)|x^2+y^2≤R^2,x≥0,y≥0}.
D2={(x,y)|x^2+y^2≤2R^2,x≥0,y≥0}.
S={(x.y)|0≤x≤R,0≤y≤R}.
可以画出D1,D2,S的图.
显然D1包含于S包含于D2.由于e^(-x^2-y^2)>0,从而在这些闭区域上的二重积分之间有不等式:
∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy
那个D表示是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.
下面计算这个二重积分:
解:在极坐标系中,闭区域D可表示为:0≤r≤a,0≤θ≤2π
∴∫∫<D>e^(-x^2-y^2)dxdy=∫∫<D>e^(-r^2)*rdrdθ
=∫<0,2π>[∫<0,a>e^(-r^2)*rdr]dθ
=-(1/2)e^(-a^2)∫<0,2π>dθ
=π(1-e^(-a^2))
下面计算∫<0，+∞>e^(-x^2)dx ;
设D1={(x,y)|x^2+y^2≤R^2,x≥0,y≥0}.
D2={(x,y)|x^2+y^2≤2R^2,x≥0,y≥0}.
S={(x.y)|0≤x≤R,0≤y≤R}.
可以画出D1,D2,S的图.
显然D1包含于S包含于D2.由于e^(-x^2-y^2)>0,从而在这些闭区域上的二重积分之间有不等式:
∫∫<D1>e^(-x^2-y^2)dxdy<∫∫<S>e^(-x^2-y^2)dxdy<∫∫<D2>e^(-x^2-y^2)dxdy.
∵∫∫<S>e^(-x^2-y^2)dxdy=∫<0,R>e^(-x^2)dx*=∫<0,R>e^(-y^2)dy
=(∫<0,R>e^(-x^2)dx)^2.
又应用上面得到的结果:∫∫<D>e^(-x^2-y^2)dxdy=π(1-e^(-a^2))
∴∫∫<D1>e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-R^2)).
∴∫∫<D2>e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-2R^2)).
于是上面的不等式可写成:
(π/4)(1-e^(-R^2))<(∫<0,R>e^(-x^2)dx)^2<(π/4)(1-e^(-2R^2)).
令R→+∞,上式两端趋于同一极限π/4,从而
∫<0，+∞>e^(-x^2)dx =sqrt(π)/2.
其中:sqrt(π)表示根号π.（从别处复制来的）
常见的有两种方法，第一种是化成伽马函数，第二种是计算重积分
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相关评论：
崔李庾如果积分限是－∞到∞，∫e^(-x^2)dx =√π 。若积分限0到∞，根据偶函数的性质可知，∫e^(-x^2)dx =√π\/2。
崔李庾原式=∫e^(-x^2)dx =∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy =∫∫e^(-r^2) rdrdα =(∫e^(-r^2) rdr)*(∫dα)=π*∫e^(-r^2) dr^2 =π*(1-e^(-r^2) |r->+∝ =π ∵ ∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy =(∫e^(-x^2)dx)*(∫e^(-y^2)dy)=(∫e^(-x^2)dx)^2 ...
崔李庾∫e^(-x^2)dx = Γ(1\/2) \/ 2 = √π \/ 2 解题过程如下：Γ(x)=∫t^(x-1)\/e^t dt 积分限为0到正无穷大 取x=3\/2得 Γ(1\/2)=∫t^(-1\/2) * e^(-t)dt = ∫ 1\/x * e^(-x^2) d(x^2)=2∫e^(-x^2)dx 余元公式为 Γ(x)*Γ(1-x)=π \/ sinπx 所以...
崔李庾这种形式的积分你可以参考标准正态分布：f(x)=1\/(√（2π))*e^(-x²\/2)。∫ e^（-x^2）dx=∫(√（2π))f(x)dx =(√（2π))∫f(x)dx =(√（2π))Φ(x)其中Φ(x)是标准正态分布，查表即可
崔李庾此题中∫e^(-x^2)dx 是超越积分(不可积积分)，它的原函数是非常规的。结果∫e^(-x^2)dx=1\/2 √π erfi(x) + C。注：其中erfi(x)是引入的函数， 它为 x的（余）误差函数，无法取值 。基本介绍 积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些...
崔李庾如果积分限是－∞到∞，∫e^(-x^2)dx =√π 。若积分限0到∞，根据偶函数的性质可知，∫e^(-x^2)dx =√π\/2。除了黎曼积分和勒贝格积分以外，还有若干不同的积分定义，适用于不同种类的函数。定积分求值方法：Step1：分析积分区间是否关于原点对称，即为[-a,a]，如果是，则考虑被积函数的...
崔李庾=π。∫e^(-x^2)dx=I^(1\/2)=根号下π。定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。一个函数，可以存在...
崔李庾采用洛必达法则，解题过程如下：
崔李庾-x^2)dx 余元公式为 Γ(x)*Γ(1-x)=π \/ sinπx 所以Γ(1\/2) = √π 所以 ∫e^(-x^2)dx = Γ(1\/2) \/ 2 = √π \/ 2 另外一种方法是计算 ∫∫e^(-(x^2+y^2))dxdy在[0,R][0,R]上的值，这个计算是先转换成极坐标，然后使用夹逼原理求极限 然后开平方即可。
崔李庾=1+(-t)+(-t)^2\/2!+(-t)^3\/3!+..+(-t)^n\/n!∫e^(-t)dt\/t=lnt-t -t^2\/(2*2!)-t^3\/(3*3!)-..-t^n\/(n*n!)∫e^(-x^2)dx =(-1\/2)e^(-x^2)\/x-(1\/4)e^(-x^2)\/x^3-(1\/8)e^(-x^2)\/x^4+(1\/8)e^(-x^2)\/x^4-(1\/8)e^(-x^2)...
