数学中的万能代换公式

高等数学万能代换公式~

由于:u=tan(x/2)
所以:arctan(u)=x/2
所以:x=2arctan(u)

解：设t=tan(x/2)，则dx=2dt/(1+t^2)，cosx=(1-t^2)/(1+t^2)，
∴原式=2∫dt/(3-t^2)。
而1/(3-t^2)=[1/(2√3)][1/(√3-t)+1/(√3+t)]，
∴原式=(1/√3)ln丨(√3+t)/(√3-t)丨+C。
∴原式=(1/√3)ln丨[√3+tan(x/2)]/[√3-tan(x/2)]丨+C。
扩展资料：
把所有三角函数都化成只有tan(a/2)的多项式之类的。用了万能公式之后，所有的三角函数都用tan(a/2)来表示，为方便起见可以用字母t来代替，这样一个三角函数的式子成了一个含t的代数式，可以用代数的知识来解。万能公式，架起了三角与代数间的桥梁。
具体作用含有以下4点：
1、将角统一为α/2；
2、将函数名称统一为tan；
3、任意实数都可以表示为tan(α/2)的形式（除特殊），可以用正切函数换元；
4、在某些积分中，可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分。
证明：如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。
设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。
这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。
由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。
因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝ sinα

cos（2kπ＋α）＝ cosα

tan（2kπ＋α）＝ tanα

cot（2kπ＋α）＝ cotα

公式二：

设α为任意角，π＋α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝ －sinα

cos（π＋α）＝ －cosα

tan（π＋α）＝ tanα

cot（π＋α）＝ cotα

公式三：

任意角α与 －α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝ －sinα

cos（－α）＝ cosα

tan（－α）＝ －tanα

cot（－α）＝ －cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π－α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝ sinα

cos（π－α）＝ －cosα

tan（π－α）＝ －tanα

cot（π－α）＝ －cotα

公式五：

利用公式－和公式三可以得到2π－α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝ －sinα

cos（2π－α）＝ cosα

tan（2π－α）＝ －tanα

cot（2π－α）＝ －cotα

公式六：

π／2±α及3π／2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π／2＋α）＝ cosα

cos（π／2＋α）＝ －sinα

tan（π／2＋α）＝ －cotα

cot（π／2＋α）＝ －tanα

sin（π／2－α）＝ cosα

cos（π／2－α）＝ sinα

tan（π／2－α）＝ cotα

cot（π／2－α）＝ tanα

sin（3π／2＋α）＝ －cosα

cos（3π／2＋α）＝ sinα

tan（3π／2＋α）＝ －cotα

cot（3π／2＋α）＝ －tanα

sin（3π／2－α）＝ －cosα

cos（3π／2－α）＝ －sinα

tan（3π／2－α）＝ cotα

cot（3π／2－α）＝ tanα

（以上k∈Z）

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝ sinα。

cos（2kπ＋α）＝ cosα。

tan（2kπ＋α）＝ tanα。

cot（2kπ＋α）＝ cotα。

公式二：

设α为任意角，π＋α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝ －sinα。

cos（π＋α）＝ －cosα。

tan（π＋α）＝ tanα。

cot（π＋α）＝ cotα。

公式三：

任意角α与 －α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝ －sinα。

cos（－α）＝ cosα。

tan（－α）＝ －tanα。

cot（－α）＝ －cotα。

三角形与三角函数

1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(其中R为外接圆的半径)。

2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC。

3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc·cosA。

4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a-b）/(a+b)=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]=tan[(A-B)/2]/cot(C/2)。

即

tanx/2=t
则
sinx=2t/(1+t^2);
cosx=(1-t^2)/(1+t^2);
tanx=2t/(1-t^2);
t^2 表示t的平方

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