求二次函数的应用题解题技巧。

解二次函数应用题,解题思路!~

1 熟练运用二次函数的三种表达式，包括普通式、顶点式、两点式。
2 对于二次函数图像的对称轴具有敏感性，比如其对称性。
3 注意题目中给定的取值范围，在函数图像上能取哪一段，最大值不一定是顶点所代表的。
4 数字千万不能算错。宁可检查1遍再往下做也不要匆匆忙忙直接套用。
5 其他随机应变的能力

全部手打，望领会……

对于二次函数，一次函数，反比例函数都要有技巧，主要是；首先弄清它们的表达式及字母表示然后记住k的取值是大于还是小于0，还有就是a,b,c的取值，在二次函数当中主要记住二次函数的图象：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线

二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2;+k
[抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和
B（x2，0）的抛物线]

抛物线y=ax2＋bx＋c中系数a、b、c的几何意义

　　抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是，顶点坐标是，其中a的符号决定抛物线的开口方向．

　　a>0，抛物线开口向上，a<0，抛物线开口向下；a，b同号时，对称轴在y轴的左边；a，b异号时，对称轴在y轴的右边；c确定抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方还是下方．

5、抛物线顶点式y=a(x－h)2＋k(a≠0)的特点

(1)a>0，开口向上；a<0，开口向下；

(2)x=h为抛物线对称轴；

(3)顶点坐标为（h，k）．

依顶点式，可以很快地求出二次函数的最值．

当a>0时，函数在x=h处取最小值y=k；

当a<0时，函数在x=h处取最大值y=k．

函数应用题的解题技巧是贴进社会生产和生活实际的数学应用问题，充分体现了数学基本方法的灵活运用和基本数学思想的渗透。下面就函数应用题的类型及解法举例分析。
一． 函数模型为反比例函数问题
例1：学校请了30个木匠，要制作200把椅子和100张课桌。已知制作一张课桌与一把椅子的工时之比为10：7，问30个木匠应当如何分组（一组制课桌另一组制椅子），能使完成全部任务最快？

分析：对于本题要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程的观点去解，使应用问题化生为熟，尽快得到解决。

解：设x个木匠制课桌，（30-x）个木匠制椅子，一个木匠在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，所以制作100张课桌所需时间为函数，制作200把椅子所需时间为函数 ，完成全部任务所需时间为函数y（x）=max{P（x），Q（x）}

要求的y（x）的最小值，需满足P（x）=Q（x），即 解得x=12.5 , 考虑到人数为整数,考查P（12）与Q（13）, P（12）=

Q（13）= 即y（12）>y（13）,

所以用13个木匠制课桌,17个木匠制椅子完成全部任务最快。

二．函数模型为一次函数问题

例2：某家报刊买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以每份0.80元的价格退回报社。在一个月(30天)里,又20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同,则应该每天从报社卖劲多少份,才能使每月所获的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚得多少元?

分析：此题主要在于分析题目中的条件，建立合适的关系式，应用函数的性质去解决问题，并考虑在定义域内的局限性与实际意义。如此题每月所赚的钱=卖报所得的金额—付给报社的金额。而卖报所得的金额分三部分。从而可列出函数解析式。

解：设每天应从报社买x份，可的250≦x≦400，设每月赚y元，得

y=0.5x·20+0.5×250×10+（x-250）×0.08×10-0.35·x·30

=0.3x+1050 x∈[250,400]

因为y =0.3x+1050是定义域上的增函数,所以当x=400时, y大=120+1050=1170（元)

答：每天从报社卖进400份, 使每月所获的利润最大，每月可赚得1070元。

三．函数模型为一二次函数问题

例3：有（m）长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等矩形组成的矩形，试问小矩形的长宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并算出窗框的最大值。

分析：应用数学知识解决应用型问题，是提高数学素质的训练内容之一，教材中也多出出现，对于此题的分析要注意观察问题的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含条件，从而恰当的构造出函数，应用函数的具体性质去解决问题。本题中面积为两部分够成，而面积就为窗所通过的光线，从而可列出函数解析式进一步解出题目。

解：设小矩形的长为x， 宽y为 ，则由图形可得：

11x+x+9y= ∴9y=-(11+)x

要使窗所通过的光线最多,即要窗框的面积最大,则

S==+[x-(11+)x2]

=-(x-+.

所以当x= ， y=

即=1：1 此时窗框的面积s有最大值S=

四．函数模型为其他函数问题

例4：有甲乙两种商品，销售这两种商品所获得的利润依次是P和Q（万元），他们与投入资金Q（万元）的关系，有经验公式： 今有3万元资金投入销售甲乙两种商品，为获得的利润最大，对甲乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大的利润是多少？

分析：首先应根据题意，建立利润与资金之间的函数关系，求的函数解析式，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,换元法是求无理函数最值的常用方法,在换元过程中要注意变量的取值范围的变化。

解：设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资（3-x）万元，总利润y万元，据题意有：

Y= （ 0≦x≦3 ）

设=t 则x=3-t2， 0≦x≦

所以 y= 0≦x≦

当x=时 y大=1.05, 此时x=0.75 ,3-x=2.25

由此可知,为获得最大利润,对甲乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元, 获的总利润为1.05万元

总之，函数的应用是数学思想的体现，是应用数学知识解决实际问题的有效途经。如果我们学好了这部分，在具体的题目中会分析题目，找出关系量之间的联系，建立适当的函数关系式，把实际问题转化为数学模型，然后利用初等函数的性质，去解决问题。使抽象问题数学化，化生为熟。

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