什么是定积分，它有何意义与作用？

定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算函数在一定区间上的面积或曲线下方的“积累”。它是不定积分的反向操作。

具体介绍：

对于给定的函数f(x)，定积分表示在给定区间[a, b]上，函数f(x)与x轴之间的面积或曲线下方的“积累”。

定积分通常用符号 ∫ 表示，表示从a到b对函数f(x)进行积分。

定积分的表示形式为 ∫[a, b] f(x) dx，其中a和b为积分下限和上限，f(x)为被积函数，dx表示变量。

计算定积分的方法：

计算定积分的方法有多种，其中最常用的方法是使用牛顿-莱布尼茨公式，也称为积分基本定理。这个定理建立了定积分与不定积分之间的关系，通过计算函数的原函数在上下限处的差值来求得定积分的值。

定积分常见的应用示例：

1、几何和物理学：

定积分可用于计算曲线或曲面的面积、体积和质心位置。例如，可以使用定积分来计算不规则形状图形的面积，或计算旋转体的体积。

2、工程学：

定积分可用于计算工程问题中的力、功和能量。例如，在固体力学中，定积分可以用于计算物体受力产生的功或弯曲梁的应力分布。

3、经济学：

定积分在经济学中的应用很广泛，特别是在微观经济学和宏观经济学领域。它可以用于计算经济学中的总收入、总支出、总利润和总消费等关键概念。

4、概率与统计学：

定积分可用于计算概率密度函数和累积分布函数。它可以用于计算随机变量的期望值、方差和其他统计量。

5、信号处理与图像处理：

定积分可用于信号处理和图像处理中的滤波和特征提取。例如，在图像处理中，可以使用定积分来计算图像的平均亮度或对比度。