小波变换的由来及其特点

什么是小波变换~

小波分析小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，理论深刻，应用十分广泛。小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理（图象可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。(1)小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。(3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。

小波变换和去噪
通俗的讲就是剥大蒜的过程，也就是不断的分层，使得信号拆分成各种频段（根据采用频率而定），而这一过程要用到低通滤波器和高通滤波器，而小波去噪就是在高频部分（因为通常白噪声出现在高频部分）改变数字量，运用一些算法去除一些混有噪声的数字，然后再运用重构低通滤波器和高通滤波器把刚刚分层的频段加起来，差不多就是拼凑大蒜的过程吧。

如何改变高频系数（也就是去除噪声）具体算法如下：
1.软门限和硬门限
所谓门限法,就是选择一个门限,然后利用这个门限对小波变换后的离散细节信号和
离散逼近信号进行处理。
硬门限可以描述为：当数据的绝对值小于给定的门限时,令其为零,而数据为其他值时不变。
软门限可以描述为:当数据的绝对值小于给定的门限时,令其为零,然后把其他数据点向零收缩。
2.门限选择的准则及其算法
根据现有的文献,对于被高斯白噪声污染的信号基本噪声模型, 一般地, 选择门限的准则如下:
1． 无偏风险估计准则。对应于每一个门限值, 求出与其对应的风险值, 使风险最小
的门限就是我们所要选取的门限，其具体算法为:
(a) 把待估计的矢量中的元素取绝对值, 由小到大排序, 然后将各个元素平方, 得到
新的待估计矢量N V ,其长度为原待估计矢量的长度n。
(b) 对应每一个元素下标(即元素的序号) k ,若取门限为待估计矢量的第k 个元素的
平方根,则风险算法为:
(2) 固定门限准则。 利用固定形式的门限,可取得较好的去噪特性。
设n 为待估计矢量的长度,取长度2 倍的常用对数的平方根为门限.
(3) 极小极大准则。本准则采用固定门限获得理想过程的极小极大特性. 极小极大原
理是在统计学中为设计估计量而采用的,由于去噪信号可以假设为未知回归函数的估计
量,则极小极大估计量是实现在最坏条件下最大均方误差最小的任选量。
(4) 混合准则。 它是无偏风险估计和固定门限准则的混合

众所周知，小波变换来源于傅立叶变换。傅立叶变换的基本思想是将信号分解成一系列不同频率的连续正弦波的叠加，或者从另外一个角度来说是将信号从时间域转换到频率域。但傅立叶变换有一个严重的不足，那就是在做变换时丢掉了时间信息，无法根据傅立叶变换的结果判断一个特定的信号是什么时间发生的，即傅立叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域里的定位是完全准确的（即频域分辨率最高），但在时域内却无任何定位性（或无分辨能力）。

为了研究信号在局部时间范围的频域特征，1946年G abor提出了著名的G abor变换，之后进一步发展成为短时傅立叶变换。其基本思路是给信号加一个小窗，信号的傅立叶变换主要集中在对小窗内的信号进行变换，因此反映出信号的局部特征。但由于短时傅立叶变换的定义决定了其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关而保持固定不变。如果对于高频信号需采用小时间窗，对于低频信号则需采用大时间窗进行分析的话，这种变时间窗的要求与短时傅立叶变换的固定时窗（窗不随频率而变化）的特性相矛盾。因此，短时傅立叶变换在处理这类问题时已无能为力了。

上述短时傅立叶变换的不足之处，正好是小波变换的优势所在。小波（w avelet），即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为0的波形。它有两个特点：一是“小”，即在时域都具有紧支集或近似紧支集；二是正负交替的波动性。如果用小波和构成傅立叶分析基础的正弦波做比较的话，傅立叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负无穷到正无穷，但小波则倾向于不规则与不对称。傅立叶分析是将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加，同样小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波函数通过平移与尺度伸缩得来的。因此，用不规则的小波函数来逼近尖锐信号显然要比正弦曲线要好，即用小波函数逼近信号的局部显然要比光滑的正弦函数好。

小波变换就是把某一被称为基本小波（也叫母小波，motherw avelet）的函数Ψ（t）做位移τ后，再在不同尺度a下与待分析的信号x（t）做内积：

环渤海湾西部石炭系—二叠系层序地层及聚煤作用研究

等效的频域表示是

环渤海湾西部石炭系—二叠系层序地层及聚煤作用研究

式中X（ω）和Ψ（ω）分别是x（t）和Ψ（t）的傅立叶变换。

可以这样理解上面的表达式的意义：如果用镜头观察某一目标x（t（）即待分析信号），Ψ（t）代表镜头所起的作用（例如滤波或卷积），τ相当于使镜头相对于目标平行移动，a的作用相当于镜头向目标推进或远离。因此，小波变换具有以下特点：

·有多分辨率（multi-resolution），也叫多尺度（multi-scale）的特点，可以由粗及细地逐步观察信号；

·可以看成用基本频率特性为（Ψω）的带通滤波器在不同尺度a下对信号做滤波，a越大相当频率越低；

·适当选择基小波，使Ψ（t）在时域上为有限支撑，Ψ（ω）在频域上也比较集中，就可以使WT在时、频域都具有表征信号局部特征的能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。

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