几道初一奥数题，希望有过程和解释

几道关于整数的初一奥数题，要求有过程和解释~

1

由abcd的平方的末四位也是abcd，有 d*d-d一定为10的倍数，又d是数字，所以d＝5或6，进位dd为2或3
同样利用(a*1000+b*100+c*10+d)^2-(a*1000+b*100+c*10+d)为10000的倍数，又
(a*1000+b*100+c*10+d)^2-(a*1000+b*100+c*10+d)＝(a*1000+b*100+c*10+d-1)×(a*1000+b*100+c*10+d)
可得10的倍数为 c*(d-1)+c*d+dd
若d=5 10的倍数为 9c+2 是10的倍数 c＝2 cc=2
若d=6 10的倍数为 11c+3 是10的倍数 c＝7 cc=8
可得100的倍数为 b*(d-1)+b*d+c*c+cc
若d=5 100的倍数为 9b+6 是100的倍数 b＝6 bb=6
若d=6 100的倍数为 11c+57 是100的倍数 b＝3 bb=9
可得1000的倍数为 a*(d-1)+a*d+2*b*c+bb
若d=5 100的倍数为 9a+30 是1000的倍数 a＝0 aa=3 舍去
若d=6 100的倍数为 11a+51 是1000的倍数 a＝9 aa=15

于是有9376符合要求。


2

A2—B 2=（A+B）（A-B），因为（A+B）和（A-B）同奇或同偶，所以智慧熟是奇数或是4的倍数，所以任何大于1的奇数都是智慧数，任何大于4的4的倍数都是智慧数，算一下就知道第1990个是2656


3

因为将n^5-n分解因式为：
n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n^2+1)(n^2-1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
因为（n-1）、n、（n+1）是三个连续的整数，其中必定有2的倍数和3的倍数，则必然是6的倍数。

若n=5k+1或n=5k或n=5k+4，其中k是正整数（下同），那么n-1或n或n+1中含因子5，则n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。

若n=5k+2，则:
n^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1)，是5的倍数，同样得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。

若n=5k+3，则：
n^2+1=25k^2+30k+9+1=5(5k^2+6k+2)，是5的倍数，同样得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。



4

设幸运车票的号码是A，则A′＝999999－A也是幸运的，且A≠A′．因为A＋A′＝999999＝999×1001含因数13．而所有幸运号码都能如此两两配对．所以所有幸运号码之和能被13 整除．


别忘了加分哦~

1、a^2009+a^2010+12=a^2008×（a^2+a）+12
=a^2008×0+12
=12

2、1和4第一次操作得4和9，第二次得9,49，第三次得9+49+9×49=459

3、x²+y²-2x+2y=-2，则x²+y²-2x+2y+2=0，则（x+1）²+（y+1）²=0，则x=-1，y=-1，x^2009+y^2010=-1+1=0

4、因为3a-b=7，6c+b=-2，所以（3a-b）+（6c+b）=7+（-2）=5，即3a+6c=5，即a+2c=5/3。因为3a-b=7，6c+b=-2，所以（3a-b）-（6c+b）=7-（-2）=9，即
3a-6c-2b=9，即a-2c-2b/3=3，下边自己代入计算

5、题中没有b，无法算

6、（x+4y-6z)(x+6z-4y)-(4y+6z+x)(4y-x+6z) =【x+（4y-6z）】【x-（4y-6z）】-【（4y+6z）+x】【（4y+6z）-x】，下边自己算

第一题。因为存在整除关系，所以把3x（3次方）+mx（2次方）+nx+42分解因式，一定可以得到3x（3次方）+mx（2次方）+nx+42=[x（2次方）-5x+6
]（kx+7），其中K为常数。把[x（2次方）-5x+6
]（kx+7）打开，[x（2次方）-5x+6]（kx+7）=Kx（3次方）+（7-5K）x（2次方）+（6K-35）x+42
其中K=3，则m=7-5K=-8，n=6K-35=-17，
所以m+n=-25
第二题，感觉不用楼上那么麻烦，简单想一下就行了。
两个两位数的数字相同，数字位置不同，那么他们的差一定是9的倍数，在这个区间内的完全平方数，且满足能被9整除这个条件的，有三个，一个是9，一个是36，一个是81，当90-09的时候差为81，不符合题意，舍去。如果差为9，那么这个数为65或56，如果差为36，那么这个数为84或48
也就是说所有满足此条件的数为65、56、48、84

第三题。因为总钱数是相同地，且每个人的捐款数也相同，那么两个班级参加捐款的人数也一定相同，则m+11=n+9，即n=m+2
代入甲班总捐款数，m（m+2）+9m+11（m+2）+145=（m+11）的平方+46
若每个学生捐款数为X，则（m+11）X=（m+11）的平方+46，则X=m+11+46/（m+11），因为X和M均为正整数，所以46/（m+11）必为正整数，这时可得m=35或12，代入前式，解得X=47或25
第四题。必胜策略。甲必胜，先拿掉2006，剩余的所有数字都一定可以写成2n或2n+1的形式，如果乙拿2m，那么甲就接着拿2m+1，如果乙拿2m+1，则甲拿2m，最后剩余的两个数必为相邻数，互质。

1.3x（3次方）+mx（2次方）+nx+42能被x（2次方）-5x+6整除
所以那个除式是（3x+7）
因为 最高次（3次）的系数是3，而那个二次的系数是1，所以得配上3x
最后 数字是42，而后条式子的数字是6，因为能整除，所以常数就是7
所以得3x+7，至于m，n的值，把3x+7 乘x（2次方）-5x+6即可得到

1.由题意可知原多项式必能分解为(x^2-5x+6)(3x+7)
待定系数法展开可得 m+n=-25
2.设此两位数十位数字a,个位数字b,平方差所得的完全平方数为k^2
则(10a+b)^2-(10b+a)^2=k^2 a^2-b^2=(k^2)/99 (此处不妨设a>b,待作结论时注意即可)
再设a^2-b^2=n(n 为自然数) 则有k^2=99n ,所以n=11,44,99......
又a^2-b^2大于0小于等于81,且能分解为两个自然数之积
所以n=11或44
n=11时,(a+b)(a-b)=1*11 a+b=11;a-b=1 有a=6 b=5
n=44时,(a+b)(a-b)=1*2*2*11 无正整数解
综上所述,这样的两位数为65或56
3.设捐款数为x元
捐款总数=(m+11)x=(n+9)x=mn+9m+11n+145 (式1)
mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46 可见m+11及n+9均为46的因数之一
又46=1*2*23 所以只有m+11=n+9=23或46
代回式1可得x=25或47,即捐款数
4.互质有三种情况,1和任意的自然数,两个质数,以及两个相邻的自然数.
这里共2005个数,其中质数远少于一半,因此若甲要获胜,只能寄希望与最后一种情况.
再来看,剩下最后两个数前,甲能擦1002次,乙能擦1001次.
2005个数中有1003个偶数和1002个奇数,作为相邻的两个数,必定为一奇一偶,所以需擦去1002个偶数和1001个奇数
由于甲握有两人所擦的2003次中的第一次和第2003次,占有主动权,因此只需在第一次擦去一个偶数,之后在乙擦奇数时擦相邻的偶数,在乙擦偶数时擦相邻的奇数,另外注意最后剩有相邻的一奇一偶便可以了.
所以,想胜选甲(选乙,则甲可用上述方法予以...... 哈!)

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