在1——100这一百个自然数中,任取21个数。证明:一定存在四个数,其中有两个数之和等于另两个数之和

在1—100这100个自然数中，任取21个。求证：一定存在四个数，其中有两个数之和等于另两个数之和。~

【证明】21个数中，存在四个数A、B、C、D，满足A+B=C+D,也就是A-C=D-B，问题等价于，一定存在四个数，其中有两个数之差，等于另两个数之差！

反设不成立，也就是说，1~100内，能抽取21个数，使得任何两个数之差都不相同！（这些差可以是1，2，3，4，5，....）

而从1~100中抽取两两相邻数之差都不相同的最大集合是（两相邻之差依次递增）{1、2、4、7、11、16、22、29、37、46、56、67、79、92}
总共是14个数，而21个数的话可以从中找到四个数m、n、s、t，使其中m-n=s-t
与反设矛盾！

因此命题得证！

=====================================================================“不能细说”的意思是
任意取21个数，如果要两两的和不一样，那么就肯定有21*20/2=210种（这个是高中的排列组合，就是从21个数中抽两个数，有210种抽法），而1~100中两两之和也无非就是3~199（最小和为1+2，最大和为100+99），总共是200种都不到，小于210，由抽屉原理，必然有两个和是一样的！
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证明：把1，2，…，100分成如下50组：A1={1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26}A2={3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25}A3={5，5×2，5×22，5×23，5×24}A4={7，7×2，7×22，7×23}?A25={49，49×2}A26={51}A27={53}?A50={99}则100个数中每一个都在某一组中且只在一组中，任取51个数，由抽屉原则至少有2个数来自同一组，这两个数中大数必是小数的倍数．

用Ai表示100以内两个不同自然数之和为i的集合（叫抽屉或盒子），则i为3,4,...199共不超过197个。
任意21个小于100的自然数中，取2个不同的数，这样的组合有，c(21,2)=20*21/2=210个
将这些210个组合（的结果）放到对应的Ai中，由于210>197必然会有某个k，使得Ak中含有两个组合，也就是存在四个数，满足两个的和等于另外两个的和。

有人证明了，将21换为16也是结论成立的。

不通

可以用反证法证明

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