高数求极限问题：此处x→0时，为什么不能代入cosx(→1)？请大虾解释，谢谢~

求极限：x→0时,(e-e^cosx)/[(1+x^2)^1/3-1] 要非常详细的过程谢谢~

limx->0 (e-e^cosx)/[(1+x^2)^1/3-1] 0/0的形式，应用洛必塔法则
=limx->0 -e^cosx*(-sinx) / 1/3(1+x^2)^(-2/3) *2x
=limx->0 sinxe^cosx / x(1+x^2)^(-2/3) *2/3 也是0/0的形式，应用洛必塔法则
=3/2limx->0 [cosxe^cosx+sinxe^cosx*(-sinx)] / [(1+x^2)^(-2/3) +x*(-2/3)(1+x^2)^(-5/3)*2x]
=3/2limx->0 [cosxe^cosx-sin^2 x e^cosx] / [(1+x^2)^(-2/3) -4x^2(1+x^2)^(-5/3) /3 ]
=3/2 (e-0)/(1-0)
=3e/2

limx->0
(e-e^cosx)/[(1+x^2)^1/3-1]
0/0的形式，应用洛必塔法则
=limx->0
-e^cosx*(-sinx)
/
1/3(1+x^2)^(-2/3)
*2x
=limx->0
sinxe^cosx
/
x(1+x^2)^(-2/3)
*2/3
也是0/0的形式，应用洛必塔法则
=3/2limx->0
[cosxe^cosx+sinxe^cosx*(-sinx)]
/
[(1+x^2)^(-2/3)
+x*(-2/3)(1+x^2)^(-5/3)*2x]
=3/2limx->0
[cosxe^cosx-sin^2
x
e^cosx]
/
[(1+x^2)^(-2/3)
-4x^2(1+x^2)^(-5/3)
/3
]
=3/2
(e-0)/(1-0)
=3e/2

如果你仔细看看等价无穷小的替换原则就知道，其实不管替换的是不是
无穷小，只要是等价替换的（包括等价无穷小，等价无穷大，以及等价常量）
就必须是以因子形式出现的，不能在加减法中进行替换。
学过Taylor展式后应该知道了，这些实际上都是等价量的替换，
但在等价替换的过程中你必须保证你没有丢掉不该丢掉的项。
本题中直接将cosx替换为1，但实际上cosx等价于1－x^2/2，
丢掉x^2的项是不行的，因为sinx中会出现x的项，两者相乘恰好是
x^3的项，这样的项与分母比较就知道是不能丢掉的，否则会出错误的。

你正是进行了部分和式的等阶无穷小的替换
用sinx替换了sinxcosx

说的真好，是的，cosx~1－x^2/2+o(x^2)，与分母一比较就知道是不能丢掉的，我以为cosx为一常数就没理他了，还是泰勒公式牛逼啊！
最后问一下，您中间说的，“就必须以因子形式出现，不能在加减法中进行替换”，我的理解就是“加减法代入极限必须整体代入，乘法才能单独代入”，是吧~
对。其实还是与Taylor展式有关。当加减法中丢掉的项可以省略时就可以单独代入，
不能省略时必须整体代入。其实这是废话。

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