拟合优度为什么要引入y的平均值
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拟合优度是评估线性回归模型拟合程度的重要指标之一，它反映了模型的预测能力。在计算拟合优度时，我们引入了y的平均值作为参考。这是因为，在线性回归中，我们需要将实际值与预测值进行比较，而y的平均值可以作为一个基准。通过将每个实际值与y的平均值进行比较，我们可以计算出误差平方和，并用其来评估模型的拟合程度。
从另一个角度来看，y的平均值还可以帮助我们理解数据的分布情况。如果每个实际值都与y的平均值相等，那么说明数据呈现出完全随机的分布。在现实生活中，数据往往不是完全随机分布的，而是存在某种趋势或规律。通过计算误差平方和，我们可以对这种趋势或规律进行建模，并使用模型来预测未来的数据。
在计算拟合优度时，我们还需要考虑自由度的问题。自由度指的是独立变量中可自由变化的部分数量。在线性回归中，自由度等于样本数量减去1。通过引入y的平均值，我们可以减少一个自由度，从而更准确地评估模型的拟合程度。
引入y的平均值是计算拟合优度所必须的一步。它不仅可以作为误差平方和的基准，还可以帮助我们理解数据的分布情况，并且还有助于准确评估模型的拟合程度。
第十二章回归分析
前面我们讲过曲线拟合问题。曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的
一组数据，寻找因变量与(一个或几个)自变量之间的一个函数，使这个函数对那组数
据拟合得昀好。通常，函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定，要
作的工作是由数据用昀小二乘法计算函数中的待定系数。从计算的角度看，问题似乎已
经完全解决了，还有进一步研究的必要吗从数理统计的观点看，这里涉及的都是随机变量，我们根据一个样本计算出的那些
系数，只是它们的一个(点)估计，应该对它们作区间估计或假设检验，如果置信区间
太大，甚至包含了零点，那么系数的估计值是没有多大意义的。另外也可以用方差分析
方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价。简单地说，回归分析就是对拟合
问题作的统计分析。
具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题:
(i)建立因变量 y与自变量 x , x , L, x 之间的回归模型(经验公式);
1 2 m
(ii)对回归模型的可信度进行检验;
(iii)判断每个自变量 x i 1,2, L,m对 y 的影响是否显著;
i
(iv)诊断回归模型是否适合这组数据;
(v)利用回归模型对 y进行预报或控制。
§1 数据表的基础知识 1.1 样本空间在本章中，我们所涉及的均是样本点×变量类型的数据表。如果有 m 个变量
x , x , L, x ，对它们分别进行了 n次采样(或观测)，得到 n个样本点
1 2 mx , x , L, x ,i 1,2, L, n
i1 i2 im
则所构成的数据表 X 可以写成一个 n × m维的矩阵。
T?
e
1 X x M
ij n ×m?
T?
e
n?
T m
式中 e x , x , L, x ∈ R ,i 1,2, L, n, e 被称为第i个样本点。
i i1 i2 im i
样本的均值为
n
1x x , x , L, x , x x , j 1,2, L, m ∑
1 2 m j ij
n
i 1
样本协方差矩阵及样本相关系数矩阵分别为n
1
TS s exex
ij m ×m ∑ k k
n ?1
k 1?
s
ij R r
ij m ×m?
s s
ii jj?
其中
-226- n
1s xx xx
ij ∑ ki i kj j
n ?1
k 1
1.2 数据的标准化处理(1)数据的中心化处理数据的中心化处理是指平移变换，即
*x xx ,i 1,2, L, n; j 1,2, L, m
ij ij j
该变换可以使样本的均值变为 0，而这样的变换既不改变样本点间的相互位置，也
不改变变量间的相关性。但变换后，却常常有许多技术上的便利。
(2)数据的无量纲化处理
在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不一样的。为了消除变量的量纲效应,
使每个变量都具有同等的表现力，数据分析中常用的消量纲的方法，是对不同的变量进
行所谓的压缩处理，即使每个变量的方差均变成 1，即
*
x x / s
ij ij j
n
1
2
其中 s xx 。
∑
j ij j
n ?1
i 1
还可以有其它消量纲的方法，如
* *
x x / x , x x / minx
ij ij ij ij ij ij
i
i
* *
x x / x , x x /x minx
ij ij j ij ij ij ij
i
i
(3)标准化处理
所谓对数据的标准化处理，是指对数据同时进行中心化-压缩处理，即xx
* ij j
i 1,2, L, n j 1,2, L, m
x , , 。
ij
s
j§2 一元线性回归2.1 模型
一元线性回归的模型为y β + β x + ε , (1)
0 1
2
ε
式中, β , β为回归系数, 是随机误差项，总是假设ε ~ N0, σ ，则随
机变量
0 1
2
y ~ N β + β x, σ。
0 1
若对 y 和 x分别进行了 n次独立观测，得到以下 n对观测值 y , x ,i 1,2, L, n (2)
i i
这 n对观测值之间的关系符合模型 y β + β x + ε ,i 1,2, L, n (3)
i 0 1 i
这里, x 是自变量在第i次观测时的取值，它是一个非随机变量，并且没有测量误差。
i
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拟合值y的平均值等于观测值y的。...
数学建模精品教材-第十二章回归分析
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具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题:
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i
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T?
e
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*
x x / s
ij ij j
n
1
2
其中 s xx 。
∑
j ij j
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* *
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ij ij ij ij ij ij
i
i
* *
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0 1
2
ε
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0 1
2
y ~ N β + β x, σ。
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i i
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禹利些答：拟合优度检验；实际问题中，可能遇到这样的情形，即总体服从何种分布并不知道，要求我们直接对总体分布提出假设，然后根据样本所提供的信息，检验假设是否成立。解决这类问题的工具是英国统计学家卡尔皮尔逊于1900年提出的χ2检验法。是在总体X的分布未知时，根据来自总体的样本，检验关于总体分布的假设的一种...
禹利些答：R^2==∑(y预测-y)^2/==∑(y实际-y)^2，y是平均数。如果R2=0.775，则说明变量y的变异中有77.5％是由变量X引起的。当R2＝1时，表示所有的观测点全部落在回归直线上。当R2=0时，表示自变量与因变量无线性关系。拟合优度是指回归直线对观测值的拟合程度。度量拟合优度的统计量是可决系数（...
禹利些答：实际值与平均值的总误差中，回归误差与剩余误差是此消彼长的关系。因而回归误差从正面测定线性模型的拟合优度，剩余误差则从反面来判定线性模型的拟合优度。统计上定义剩余误差除以自由度n–2所得之商的平方根为估计标准误。为回归模型拟合优度的判断和评价指标，估计标准误显然不如判定系数R²。R...
禹利些答：1、拟合优度。R2衡量的是回归方程整体的拟合度，是表达因变量与所有自变量之间的总体关系。R2等于回归平方和在总平方和中所占的比率，即回归方程所能解释的因变量变异性的百分比。实际值与平均值的总误差中，回归误差与剩余误差是此消彼长的关系。因而回归误差从正面测定线性模型的拟合优度，剩余误差则从...
禹利些答：实际值与平均值的总误差中，回归误差与剩余误差是此消彼长的关系。因而回归误差从正面测定线性模型的拟合优度，剩余误差则从反面来判定线性模型的拟合优度。拟合优度检验：R平方越高，模型越适合您的数据。 在心理调查或研究中，我们通常发现低R平方值低于0.5。 这是因为我们试图预测人类行为，预测人类...
禹利些答：实际值与平均值的总误差中，回归误差与剩余误差是此消彼长的关系。因而回归误差从正面测定线性模型的拟合优度，剩余误差则从反面来判定线性模型的拟合优度。统计上定义剩余误差除以自由度n–2所得之商的平方根为估计标准误。为回归模型拟合优度的判断和评价指标，估计标准误显然不如判定系数R²。R...
禹利些答：实际值与平均值的总误差中，回归误差与剩余误差是此消彼长的关系。因而回归误差从正面测定线性模型的拟合优度，剩余误差则从反面来判定线性模型的拟合优度。统计上定义剩余误差除以自由度n–2所得之商的平方根为估计标准误。为回归模型拟合优度的判断和评价指标，估计标准误显然不如判定系数R。R是无量纲...
