已知数列{an}中，a1=3，an+1+an=3?2n，n∈N*．（1）证明数列{an-2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式

在数列{an}中,a1=1,2an+1=(1+1/n)^2*an，证明：数列{an/n^2}是等比数列，并求an的通项公式~

1,2a(n+1)=(1+1/n)^2*an 2a(n+1)=[(n+1)/n]^2*an a(n+1)/(n+1)^2=(1/2)(an/n^2)
所以，数列{an/n^2}是首项为1、公比为1/2的等比数列，an/n^2=(1/2)^(n-1)
an=n^2*(1/2)^(n-1)(n1,2,3,……,)
2,bn=(n+1)^2*(1/2)^n-n^2*(1/2)^n=(2n+1)(1/2)^n。设Tn=b1+b2+…+bn，则
Tn=3*(1/2)+5*(1/2)^2+7*(1/2)^3+…+(2n-1)*(1/2)^(n-1)+(2n+1)*(1/2)^n (1)
(1/2)*(1)得：
(1/2)Tn=3*(1/2)^2+5*(1/2)^3+7*(1/2)^4+…+(2n-1)*(1/2)^n+(2n+1)*(1/2)^(n+1) (2)
(1)-(2)得：
(1/2)Tn=1/2+2*(1/2)+2*(1/2)^2+2*(1/2)^3+…+2*(1/2)^n-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
=1/2+2*(1/2)*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
=1/2+2-(1/2)^(n-1)-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
=3/2-(1/2)^(n-1)-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
Tn=3-(1/2)^(n-2)-(2n+1)*(1/2)^n

an+2=3an+1-2an ，所以a(n+2) - a(n+1) =2·【a(n+1) - a(n)】
所以 （an+1-an)是等比数列，a(n+2) - a(n+1) = 2^n·【a2-a1】= 2^(n+1)
故a(n+1)-a(n)=2^n,an-a(n-1)=2^(n-1),......,a2-a1=2^1,将这些等式相加得：a(n+2)-a1 = 2^1+...+2^(n+1) = 2·{1-2^(n+1)}/(1-2) = 【2^(n+2)】-2
所以a(n+2) = 【2^(n+2)】-1 , 所以通项a(n) = 2^n - 1

（1）由a₁=3，a_n+1+a_n=3?2ⁿ，n∈N^*．得：
an+1?2n+1＝?(an?2n)，
所以数列{an?2n}是以a₁-2=1为首项，公比为-1的等比数列，
∴an?2n=（-1）^n-1，所以an＝2n+(?1)n?1；
（2）假设存在连续三项a_n-1，a_n，a_n+1成等差数列，则由已知得：
2（2ⁿ+（-1）^n-1）=2^n-1+（-1）^n-2+2ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ，（n≥2）
化简得2^n-1=2²×（-1）^n-1，显然当n=3上式成立，
所以存在数列{a_n}中的第二、三、四项构成等差数列；
（3）由1＜r＜s且r，s∈N^*，结合通项可知a₁＜a_r＜a_s，
由a₁，a_r，a_s成等差数列，可得2a_r=a₁+a_s，
即2?2^r+2（-1）^r-1=3+2^s+（-1）^s-1，整理得2^r+1-2^s=3-2（-1）^r-1+（-1）^s-1，
因为1＜r＜s且r，s∈N^*，所以2^r+1-2^s的可能取值为0，8，…，而3-2（-1）^r-1+（-1）^s-1∈[0，6]，
∴2^r+1-2^s=0，
∴s=r+1（r≥2，r∈N）．

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