数列an=√2,an+1=√2+an,证明数列的极限存在并求其极限

a1=根号2,an+1=根号(2+an),求证数列{an}收敛,并求其极限~

结果为：lim an=2
解题过程如下：
利用数学归纳法：a1=√2<2
假设当n=k时，ak<2
则n=k+1时，a(k+1)=√(2*ak)<√(2*2)=2
因此，an<2
再证an单调
a(n+1)-an
=√(2*an)-an
=√an * (√2-√an)
∵an<2
∴a(n+1)-an>0即，an单调递增
由单调有界定理，an收敛，设收敛到a，即有lim an=a
a(n+1)=√(2*an)
同取极限，lim a(n+1)=lim √(2*an)
a=√(2*a)
a=2∴lim an=2
扩展资料求数列极限的方法：
设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：
1.函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。
2.函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。
3.函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。
则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

证明：若a1=根号2，an+1=根号（2an），n=1,2，…，则数列{an}收敛，极限是2。
显然an>0 则a(n+1)^2-an=2an-an=an>0 即a(n+1)>an 则an单调递增，下面用数学归纳法证明an有上界即an<2。当n=1时，a1<2显然成立，假设当n=k时，ak<2成立，则当n=k+1时，a(k+1)=√2ak<√4=2 也成立。

作用分析
综上所述，an<2成立，根据数列单调递增且有上界，故数列收敛，则lima(n+1)=liman，则lima(n+1)=lim√2an=liman 解得liman=2，故其极限为2。
再由 a1a1^2a2>a1，其中由此通过数学归纳法得到an递增，即数列单调。则由单调有界原理，数列收敛。要求极限请追问。

a₁＝√2＜2，
设 a(k)＜2，
则 a(k＋1)＝√[2＋a(k)]
＜√(2＋2)＝2，
归纳法知，数列有上界。
明显 a₂＝√(2＋√2)＞√2＝a₁，
设 a(k)＞a(k－1)，
则 a(k＋1)－a(k)
＝√[2＋a(k)]－√[2＋a(k－1)]
＝[a(k)－a(k－1)] / {√[2＋a(k)]＋√[2＋a(k－1)]}
＞0，
所以数列单调递增，
由此可得数列极限存在，
设极限为 a，
已知等式两边取极限，
得 a＝√(2＋a)，
解得 a＝2 。

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