已知数列an中，a1=2,an+1=1+an/1-an,证明数列an中任意连续四项之积为定值

已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an-n+1，（n∈N*），（1）求证数列{an-n}为等比数列．（2）判断265是否是数~

解答：证明：（1）由an+1=2an-n+1知an+1-（n+1）=2（an-n），即an+1?(n+1)an?n＝2，即{an-n}是以1为首项，以2为公比的等比数列．（2）由（1）知an-n=2n-1，即an=2n-1+n，265是数列{an}中的第9项．（原因是 {an}是递增数列，265是奇数，它只能为{an}中的奇数项，）又∵256＜265＜512，∴猜想是第9 项，经验证符合猜想，不写原因不扣分）∴S8=（1+2+…+8）+（20+2+…+27）=291．

a1=2>0，假设当n=k(k∈N*)时，ak>0，则
a(k+1)=ak²+2ak>0
k为任意正整数，因此对于任意正整数n，an>0
a(n+1)=an²+2an
1+a(n+1)=1+an²+2an=(1+an)²
lg[1+a(n+1)]=lg(1+an)²=2lg(1+an)
lg[1+a(n+1)]/lg(1+an)=2，为定值
lg(1+a1)=lg(1+2)=lg3

数列{lg(1+an)}是以lg3为首项，2为公比的等比数列
lg(1+an)=lg3·2ⁿ⁻¹=lg3^(2ⁿ⁻¹)
1+an=3^(2ⁿ⁻¹)
Tn=(1+a1)(1+a2)...(1+an)

=3^(2⁰)· 3^(2¹)· ...· 3^(2ⁿ⁻¹)
=3^(1+2+...+2ⁿ⁻¹)
=3^[1· (2ⁿ-1)/(2-1)]
=3^(2ⁿ-1)

这种方法看似麻烦，实际很简单~~
由上式可得：an+2 = （1 + an+1）/ (1 - an+1)
代入an+1的表达式，化简得到 an+2 = -1/an
同样的方法代入an+2可以得到 an+3 = (an-1)/(an+1)
将an，an+1，an+2，an+3相乘得到的值为1，由于这里的四项具有普遍性，故得证！

a1=2,
a(n+1)=(1+an)/(1-an) ，
可以依次计算出数列的前几项：
a1=2,
a2=-3，
a3=-1/2,
a4=1/3,
a5=2,
a6=-2,
……
可以发现数列是以4为周期的数列。
a1*a2*a3*a4=1.

所以数列an中任意连续四项之积为定值：1

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