平行线与相交线
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说到相交线与平行线,那让我们先来探究一下点线面的关系。首先,两个点有什么样的位置关系呢?答案有两个:两个点重合与两个点不重合,除了这两种情况,没有别的了。那么三个点呢?还是两种关系:三点共线和三点不共线。那四点呢?四点可以有三种情况,比如四点共线、三点共线、任意三点不共线。
那么,两条直线有怎样的位置关系呢?很显然,一种是相交,一种是平行,不过相交还有一种特殊型的,就是垂直。那么,如何定义相交呢?相交就是两条直线有一个公共点。那平行呢?就是在同一平面内不相交的两条直线叫平行。为什么要在同一平面内呢?因为如果不规定在同一平面,那两条线就有可能是在空中的,即不相交也不平行。
那么接下来,让我们来探究相交直线构成哪些有趣的角呢?先画图,
我们将直线AB交CD于点O,我们会发现,∠AOC+∠AOC=180°,这是因为平角定义,我们可以知道∠COD=180°,我们把这样的角,命名为邻补角。其次,你会发现途中形成了两组对顶角,那通过刚刚得出的邻补角,可以证出对顶角相等。所以,你凡是遇到两个角是对顶角,那它们的度数一定相等。
我们还会发现在一条直线上的两个角相加等于180度,那么这样的角叫做互补,如果两个角相加等于90度,那么这两个角互余。
如果(假设)∠2+∠3=180°,由图你又可以得知∠2+∠4=180°,那么如果将这两个式子进行化简,你就会得到∠3=∠4。所以我们称这个结论为:同角的补角相等。那么同理,我们还可以得到:同角的余角相等。
那在垂线这里,我们可以得到什么结论呢?如果过一点画直线,那么想到这段距离最短的话,就要画垂线段。所以我们可以得出结论:垂线段最短。
相交(垂直)线说完,那么接下来我们该说说平行线了。平行线中有非常重要的一个图形,就是三线八角(两条直线被第三条直线所截)。那么,这个三线八角会有哪些奥秘呢?
如果∠1=∠2,那么a∥b。它没有什么依据,所以我们称这种方法为“不证自明”。我们叫这种角为同位角,那么它的文字语言就是同位角相等,两直线平行。所以我们称这为“平行线判定定理1”。
那除了同位角,还有哪些特殊的角,可以判定平行吗?有没有平行线判定定理2,平行线判定定理3呢?
肯定是有的,还有内错角和同旁内角。
先来说一说内错角,如图,我们可以知道∠1=∠8,它们形成了一个内错角,那我们该怎么证明呢?通过对顶角相等我们可以知道∠4=∠8,那么∠1和∠4又是同位角,那么我们可以用平行线判定定理1,得出a∥b。所以,这就是平行线判定定理2:内错角相等两直线平行。
接下来让我们来说同旁内角
如图,已知∠1+∠2=180°,求a∥b。我们知道∠1+∠2=180°,用平角定义又可以得出∠2+∠8=180°,所以运用同角的补角相等这个依据可以得出∠1=∠8。所以我们用平行线判定定理2求出了a∥b。所以,这就是平行线判定定理3:同旁内角互补,两直线平行。
这三条都是平行线的判定定理。那么我们可以根据同样的方法,推出与他互逆的平行线的性质定理。
也同样有三条:
那下面就让我们一起来证明吧!如图
先来说一说同位角,也就是平行线性质定理一。已知a∥b,那么∠1=∠2。为什么会这样呢?它为什么没有什么证明过程?我们知道,平行线的判定定理一是不证自明的,那么同样,平行线的性质定理一也是不证自明的。就像这样
那么在我们知道了两直线平行同位角相等(也就是平行线的性质定理一),我们就可以试着求出平行线的性质定理二和平行线的性质定理三了。先来说一说平行线的性质定理二。
如图,已知了a∥b,求证∠3=∠4。由a∥b可以得出∠4等于∠8,依据是平行线的性质定理一,又通过对顶角相等,可以得出∠3等于∠8,所以再根据等量代换就可以得出∠3=∠4。这就是平行线的性质定理二,两直线平行,内错角相等。
接下来,让我们来探究一下同旁内角。
如图,已知a∥b,求证∠2+∠3=180°。我们会发现它有两种解答方法,一种是用平行线性质定理一,一种是用平行线性质定理二。以上为方法和步骤。
那么,我们还可以用平行线解决那些问题呢?比如三角形的内角和与外角和(包括四边形及多边形);还有三角形的外角定理:一个外角等于与这个角不相邻的两个内角的度数和等等。
那么未来呢?在未来我们会探索些什么呢?在未来,我们可能会探索三角形的外角和以及全等三角形……那么对此你是否充满兴趣?!
这就是我关于平行线和相交线的探索。
平行线与相交线视频
相关评论:18922584544:在同一个平面内两条直线的位置关系
梁扶清答:平行是指两条直线在同一平面内,方向相同且间距相等。具体来说,平行线不会相交于任何点,即使它们无限延长也不会相交。平行线在几何学中有着重要的应用,如在证明定理、求解几何问题等方面。相交是指两条直线在同一平面内,方向不同且必然会相交于一点。相交线在交点处相交,这个点称为交点。相交线在...
18922584544:平行线和相交线的联系与区别是什么?
梁扶清答:1、平行:在平面上两条直线、空间的两个平面以及空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时,称它们平行。平行线在无论多远都不相交。直线与曲面也是可以平行的,曲面与曲面也可以是平行的(这就如同平面与平面是可以平行的一样),当然曲线与曲线也可以是平行的。2、相交:在数学中,相交是两个几何...
18922584544:平行线和相交线有什么区别和联系?
梁扶清答:“无限接近,永不相交”意指两条平行线。无限延长,但一直保持距离,不能相交。“相交之后,渐行渐远”意指两条相交的直线。相交后无限延长,但相距越来越远。
18922584544:相交线与平行线所有的定义公理定理
梁扶清答:1.平行线的判定公理:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两条直线平行。简单说成:同位角相等,两直线平行。2.平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两条直线平行。简单说成:内错角相等,两直线平行。3.平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果...
18922584544:什么是相交线和平行线
梁扶清答:相交和平行一般指同一平面是两直线间的关系。如果两直线有交点,则称这两条直线是相交的,如果没有交点,则称这两条直线是平行的。
18922584544:相交线与平行线的知识点
梁扶清答:相交线与平行线的知识点如下:1、邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。2、对顶角:一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线,像这样的两个角互为对顶角。3、垂线:两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线。4、平行...
18922584544:平行线与相交线的定义
梁扶清答:定义如下:1、平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。如果两条直线在同一个平面上延伸,且永远不会相交,这两条直线就是平行的。2、相交线:有且只有一个公共点的两条直线称为相交线。当两条直线在某个点交叉时,就会形成相交线。
18922584544:相交线与平行线所有的定义公理定理
梁扶清答:1.平行线的判定公理:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两条直线平行。简单说成:同位角相等,两直线平行。2.平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两条直线平行。简单说成:内错角相等,两直线平行。3.平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果...
18922584544:关于相交线、平行线的意义及其判定,估质、平移、平面直角坐标系的意义...
梁扶清答:相交线的意义 有且只有一个交点的两条直线。平行线定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,平行关系是相互的。垂直于同一条直线的两直线平行。平行线判定方法 1.同位角相等,两直线平行。2.内错角相等,两直线平行。3.同旁内角互补,两直线平行。平移 把一个图形沿着某个方向移动一定的距离...
18922584544:不相交的两条直线一定平行吗
梁扶清答:不相交的两条直线不一定平行。首先,让我们明确一下以下几个几何术语:平行线:两条直线如果在平面上无论延伸多远也不会相交,那么它们被称为平行线。平行线具有相同的斜率,但位于不同的位置。相交线:两条直线如果在平面上有一个或多个交点,那么它们被称为相交线。不相交线:两条直线如果在平面上...
那么,两条直线有怎样的位置关系呢?很显然,一种是相交,一种是平行,不过相交还有一种特殊型的,就是垂直。那么,如何定义相交呢?相交就是两条直线有一个公共点。那平行呢?就是在同一平面内不相交的两条直线叫平行。为什么要在同一平面内呢?因为如果不规定在同一平面,那两条线就有可能是在空中的,即不相交也不平行。
那么接下来,让我们来探究相交直线构成哪些有趣的角呢?先画图,
我们将直线AB交CD于点O,我们会发现,∠AOC+∠AOC=180°,这是因为平角定义,我们可以知道∠COD=180°,我们把这样的角,命名为邻补角。其次,你会发现途中形成了两组对顶角,那通过刚刚得出的邻补角,可以证出对顶角相等。所以,你凡是遇到两个角是对顶角,那它们的度数一定相等。
我们还会发现在一条直线上的两个角相加等于180度,那么这样的角叫做互补,如果两个角相加等于90度,那么这两个角互余。
如果(假设)∠2+∠3=180°,由图你又可以得知∠2+∠4=180°,那么如果将这两个式子进行化简,你就会得到∠3=∠4。所以我们称这个结论为:同角的补角相等。那么同理,我们还可以得到:同角的余角相等。
那在垂线这里,我们可以得到什么结论呢?如果过一点画直线,那么想到这段距离最短的话,就要画垂线段。所以我们可以得出结论:垂线段最短。
相交(垂直)线说完,那么接下来我们该说说平行线了。平行线中有非常重要的一个图形,就是三线八角(两条直线被第三条直线所截)。那么,这个三线八角会有哪些奥秘呢?
如果∠1=∠2,那么a∥b。它没有什么依据,所以我们称这种方法为“不证自明”。我们叫这种角为同位角,那么它的文字语言就是同位角相等,两直线平行。所以我们称这为“平行线判定定理1”。
那除了同位角,还有哪些特殊的角,可以判定平行吗?有没有平行线判定定理2,平行线判定定理3呢?
肯定是有的,还有内错角和同旁内角。
先来说一说内错角,如图,我们可以知道∠1=∠8,它们形成了一个内错角,那我们该怎么证明呢?通过对顶角相等我们可以知道∠4=∠8,那么∠1和∠4又是同位角,那么我们可以用平行线判定定理1,得出a∥b。所以,这就是平行线判定定理2:内错角相等两直线平行。
接下来让我们来说同旁内角
如图,已知∠1+∠2=180°,求a∥b。我们知道∠1+∠2=180°,用平角定义又可以得出∠2+∠8=180°,所以运用同角的补角相等这个依据可以得出∠1=∠8。所以我们用平行线判定定理2求出了a∥b。所以,这就是平行线判定定理3:同旁内角互补,两直线平行。
这三条都是平行线的判定定理。那么我们可以根据同样的方法,推出与他互逆的平行线的性质定理。
也同样有三条:
那下面就让我们一起来证明吧!如图
先来说一说同位角,也就是平行线性质定理一。已知a∥b,那么∠1=∠2。为什么会这样呢?它为什么没有什么证明过程?我们知道,平行线的判定定理一是不证自明的,那么同样,平行线的性质定理一也是不证自明的。就像这样
那么在我们知道了两直线平行同位角相等(也就是平行线的性质定理一),我们就可以试着求出平行线的性质定理二和平行线的性质定理三了。先来说一说平行线的性质定理二。
如图,已知了a∥b,求证∠3=∠4。由a∥b可以得出∠4等于∠8,依据是平行线的性质定理一,又通过对顶角相等,可以得出∠3等于∠8,所以再根据等量代换就可以得出∠3=∠4。这就是平行线的性质定理二,两直线平行,内错角相等。
接下来,让我们来探究一下同旁内角。
如图,已知a∥b,求证∠2+∠3=180°。我们会发现它有两种解答方法,一种是用平行线性质定理一,一种是用平行线性质定理二。以上为方法和步骤。
那么,我们还可以用平行线解决那些问题呢?比如三角形的内角和与外角和(包括四边形及多边形);还有三角形的外角定理:一个外角等于与这个角不相邻的两个内角的度数和等等。
那么未来呢?在未来我们会探索些什么呢?在未来,我们可能会探索三角形的外角和以及全等三角形……那么对此你是否充满兴趣?!
这就是我关于平行线和相交线的探索。
平行线与相交线视频
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梁扶清答:平行是指两条直线在同一平面内,方向相同且间距相等。具体来说,平行线不会相交于任何点,即使它们无限延长也不会相交。平行线在几何学中有着重要的应用,如在证明定理、求解几何问题等方面。相交是指两条直线在同一平面内,方向不同且必然会相交于一点。相交线在交点处相交,这个点称为交点。相交线在...
梁扶清答:1、平行:在平面上两条直线、空间的两个平面以及空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时,称它们平行。平行线在无论多远都不相交。直线与曲面也是可以平行的,曲面与曲面也可以是平行的(这就如同平面与平面是可以平行的一样),当然曲线与曲线也可以是平行的。2、相交:在数学中,相交是两个几何...
梁扶清答:“无限接近,永不相交”意指两条平行线。无限延长,但一直保持距离,不能相交。“相交之后,渐行渐远”意指两条相交的直线。相交后无限延长,但相距越来越远。
梁扶清答:1.平行线的判定公理:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两条直线平行。简单说成:同位角相等,两直线平行。2.平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两条直线平行。简单说成:内错角相等,两直线平行。3.平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果...
梁扶清答:相交和平行一般指同一平面是两直线间的关系。如果两直线有交点,则称这两条直线是相交的,如果没有交点,则称这两条直线是平行的。
梁扶清答:相交线与平行线的知识点如下:1、邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。2、对顶角:一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线,像这样的两个角互为对顶角。3、垂线:两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线。4、平行...
梁扶清答:定义如下:1、平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。如果两条直线在同一个平面上延伸,且永远不会相交,这两条直线就是平行的。2、相交线:有且只有一个公共点的两条直线称为相交线。当两条直线在某个点交叉时,就会形成相交线。
梁扶清答:1.平行线的判定公理:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两条直线平行。简单说成:同位角相等,两直线平行。2.平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两条直线平行。简单说成:内错角相等,两直线平行。3.平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果...
梁扶清答:相交线的意义 有且只有一个交点的两条直线。平行线定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,平行关系是相互的。垂直于同一条直线的两直线平行。平行线判定方法 1.同位角相等,两直线平行。2.内错角相等,两直线平行。3.同旁内角互补,两直线平行。平移 把一个图形沿着某个方向移动一定的距离...
梁扶清答:不相交的两条直线不一定平行。首先,让我们明确一下以下几个几何术语:平行线:两条直线如果在平面上无论延伸多远也不会相交,那么它们被称为平行线。平行线具有相同的斜率,但位于不同的位置。相交线:两条直线如果在平面上有一个或多个交点,那么它们被称为相交线。不相交线:两条直线如果在平面上...