高二物理电功率最大最小问题

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高二物理、电功率。如图小题(3),不应该是R1+R2=r,即R2=r-R1时电源输出功率最大吗??~

此电路中滑动变阻器一端的两个接头都在电路中,所以等效电路是R2与滑动变阻器的右侧电阻(记为Rx)并联,再与R1串联。所以整个电路的电阻为
(R1+r)+(R2▪Rx/(R2+Rx)),于是可看出要使电源功率最大,就要使电阻最小,即当Rx=0时最小,而当Rx=0时说明此时R2是处于短路的状态(R2=0),电路中只有R1

最大电压:U1=√(P1R1)=√200=10(√2)V
U2=√(P2R2)=√900=30V
最大电流:I1=√(P1/R1)=√(20/10)=(√2)A
I2=√(P2/R2)=√(30/30)=1A

串联时,考虑电流的大小,最大电流Imax=I2=1A
最大电压Umax=Imax(R1+R2)=1*(10+30)=40V
最大功率Pmax=Umax*Imax=1A*40V=40W

并联时,考虑电压的大小,最大电压Umax'=U1=10(√2)V
最大电流Imax'=Umax/R1+Umax/R2=[4(√2)/3]A≈1.89A
最大功率Pmax=Umax'*Imax'=10(√2)V*[4(√2)/3]A=(80/3)W≈26.7W

其实就是个数学问题呀。。。
首先设R3阻值为x(0<=x<=20)
R2和R3是并联,并联后电阻为R2//R3=(R2*R3)/(R2+R3)=4x/(x+4)
电源在干路上,干路电流(即R1的电流)I1=E/(R2//R3+R1+r)=6/[4x/(x+4)+2]=(3x+12)/(3x+4)
并联电阻按阻值的反比分配电流,所以I2=I1*R3/(R3+R2)=3x/(3x+4)=1/[1+4/(3x)]
I3=I1*R2/(R3+R2)=12/(3x+4)

(1)
I2随x增大而增大,所以R3最大时,R2消耗功率最大。此时R3=20欧,P2=R2*(I2)^2=225/64W

(2)
注意,因为前一问R2是定值,所以只需考虑I2的变化规律即可;但本问R3是变化的,所以必须综合考虑。
P3=R3*(I3)^2=144/(x+16/x+24)
分母可以利用基本不等式,得x+16/x+24>=8+24=32,当且仅当x=16/x即x=4时等号成立。
所以R3=4欧时P3最大为P3=144/32=4.5W

(3)P1+P2=R1*(I1)^2 + R2*(I2)^2=(45x^2 + 72x + 144)/(9x^2 + 24x + 16)
然后是个凑数字的过程
P1+P2=[5*(9x^2 + 24x + 16) - 48x +64]/(9x^2 + 24x + 16)
=5+[-16(3x+4)+128]/(3x+4)^2 = 5 - 16/(3x+4) + 128/(3x+4)^2
设y=1/(3x+4),则1/64 <=y<= 1/4
则P1+P2=128y^2 - 16y + 5
对称轴为y=16/(2*128)=1/16
此时x=4,P1+P2=4.5W。

(4)这问可以避免上述复杂的运算,可以先证明一个最大功率传输定理,即当负载电阻R等于电源内阻r时,负载消耗的功率最大。
证明:电流I=E/(R+r)
负载上的功率P=R*I^2=R*E^2/(R+r)^2 = E^2/(R+r^2/R + 2r)
分母利用基本不等式,有R+r^2/R + 2r >= 4r,当且仅当R=r时等号成立。
所以当R=r时,负载上消耗的功率最大,为P=E^2/(4r)。
利用这个定理,可以将R1所在支路看成是电源,内阻就是R1+r=2欧,而R2和R3并联看做负载
所以当R2//R3=4x/(x+4)=2即R3=4欧时,R2和R3功率之和最大,值为P2+P3=E^2/(4*(R1+r))=4.5W。


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