定积分定义

定积分的定义~

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。直观地说，对于一个给定的正实值函数 f(x),f(x)在一个实数区间[a,b]上的定积分可以理解为在Oxy坐标平面上,由曲线(x,f(x)), 直线x=a,x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值)。其图形展示如下:

扩展阅读:
积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出，称为"黎曼积分"。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[ a , b ])，而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。
参考资料: 百度百科 - 定积分 百度百科 - 黎曼积分

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料

定积分性质

1、当a=b时，

2、当a>b时，

3、常数可以提到积分号前。

4、代数和的积分等于积分的代数和。

5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有

又由于性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件。

6、如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则

7、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ε在（a，b)内使

参考资料来源：百度百科—定积分

定积分定义：

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。

可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式  。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度）。

如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为  ，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。

其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

扩展资料：

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

一般定理：

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：

如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么

用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。

正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

参考资料：百度百科---定积分

定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干分点，a=x0<x1<x2<...<xn=b
把区间[a,b]分成n个小区间，各个小区间的长度为Δxi=xi-x(i-1)（这里i-1为下标，而且i为小于等于n的正整数），在各个小区间上任取一点ξi(ξi∈Δxi)，做乘积f(ξi)Δx并做和∑(n,
i=1)f(ξi)Δx
记λ=max{Δx1,
Δx2...Δxn}，
如果不论多[a,b]如何分也不论ξi取Δxi中的何位置，只要当λ->0时，和S总趋于确定的极限，这个极限便是f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为
解释：因为定积分可以看为一个曲边梯形的面积
将一个曲边梯形梯形的面积分为n个长方形计算，其中，每一个长方形的底为Δxi，该长方形的高通过对应法则（即y轴上的投影）为f(ξi)，则长方形的面积就应该是f(ξi)Δx，曲边梯形的面积近似值就是∑(n,
i=1)f(ξi)Δx
这时，如果我们取λ=max{Δx1,
Δx2...Δxn}中的最大值而且将它趋于零，意味着所有的元素都应该趋于零(最大值趋于零看成其他数值的低阶无穷小理解)，那么面积的值将越来越精确。（趋于零，这里长方形的宽越来越小（可以理解为有面积的线段之和）），根据极限的定义，可以写成一个和的极限形式，这便是定积分的概念
当Δxi越来越小的时候，面积表示越来越精确
此外，题主给出的题目答案为：-1/6,可以先求t(t-1)的原函数，即为(t^3)/3-(t^2)/2,代入积分上下线相减得到结果-1/6
这里使用到了牛顿莱布尼茨公式。如果要用定积分的定义求，会相对比较麻烦。

定积分 （definite integral）
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, …, △xn=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式

。设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为

：
其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数

1/3*b^3+b-(1/3*a^3+a)

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