设x1=10,xn+1=根号下(6+xn)(n=1,2,。。。),证明数列{xn}有极限,并求此极
1. 先证有界性
设 xn<=3
xn+1=√6+Xn<=√6+3=3
即
xn+1-xn=√6+Xn-√6+Xn-1
=(xn-xn-1)/[√6+Xn+√6+Xn-1]
所以
xn+1-xn和xn-xn-1 符号相同
而
x2=√6+X1=4
x2-x1<0
所以
xn+1-xn<0
xn+1<xn
即
{xn}是减函数,
所以单调有界数列必有极限;
设极限=a
则
limXn+1=lim√6+Xn
a=√6+a
a²=6+a
a²-a-6=0
(a+2)(a-3)=0
a=3
即
极限=3
给个好评吧,谢谢
证明:因为0<x1<3所以x(n+1)<=[xn+(3-xn)]/2=3/2
所以{xn}有界
又x(n+1)=√[xn(3-xn)]
>=√[xn(3-3/2)]
=√(3/2)xn>=xn
所以{xn}递增
单调有界数列必有极限,设x=limxn=limx(n+1),则
x=√x(3-x)解得x=3/2
所以limxn=3/2
limxn的极限等于3。证明过程如下:
设x1=10,xn+1=根号下(6+xn)(n=1,2……),证明数列{xn}有极限:
数列极限的存在的条件
1、单调有界定理 在实数系中,单调有界数列必有极限。
2、致密性定理 任何有界数列必有收敛的子列。
扩展资料:
极限的求法有很多种:
1、连续初等函数,在定义域范围内求极限,可以将该点直接代入得极限值,因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。
2、利用恒等变形消去零因子(针对于0/0型)。
3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。
4、利用无穷小的性质求极限。
5、利用等价无穷小替换求极限,可以将原式化简计算。
6、利用两个极限存在准则,求极限,有的题目也可以考虑用放大缩小,再用夹逼定理的方法求极限。
7、利用两个重要极限公式求极限。
用归纳法很容易证明Xn>3,所以数列Xn有下界。
X(n+1)平方-Xn平方=6+Xn-Xn平方=(3-Xn)(2+Xn)<0,所以X(n+1)<Xn,数列Xn单调减少。所以数列Xn有上界X1。所以Xn单调有界,从而有极限,记极限为a。在递推公式两边取极限得a=根号下(6+a),解得a=3。
扩展资料:
极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期,生产力得到极大的发展,生产和技术中遇到大量的问题,开始人们只用初等数学的方法已无法解决,要求数学突破’只研究常量‘的传统范围,而寻找能够提供能描述和研究运动、变化过程的新工具,是促进’极限‘思维发展、建立微积分的社会背景。
极限思想的完善,与微积分的严格化的密切联系。在很长一段时间里,微积分理论基础的问题,许多人都曾尝试“彻底满意”地解决,但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量,而人们习惯于用不变化的常量去思维,分析问题。
对“变量”特有的概念理解还不十分清楚;对“变量数学”和“常量数学”的区别和联系还缺乏了解;对“有限”和“无限”的对立统一关系还不明确。
。。
还有解法2呢?这个解法我知道
丫的,别拿了我的答案就溜号啊。。
不采纳财富值也没了啊
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