有趣的“鳄鱼悖论”

鳄鱼悖论是什么来着？~

这是古希腊哲学家经常提及的一个有趣的悖论有一位母亲抱着心爱的孩子到河边洗衣服。一条鳄鱼偷偷地从旁边游近，并从她的怀抱中把孩子叼走。失去爱子的母亲非常痛苦，哭泣着央求鳄鱼把孩子还给她。“好吧！我可以把孩子还给你，但有一个条件。”鳄鱼说：“随你什么条件我都接受，只要你肯把孩子还给我。”救子心切的母亲满口答应。“是这样，你猜一猜我会不会吃掉你的孩子？如果你答对了，我就把孩子毫发无损地还给你。若答错，那你的孩子可就成了我的食物。”鳄鱼提出了条件。这位聪明的母亲思索片刻，回答说：“你是要吃掉我的孩子的。”“如果我把孩子交还给你，你就说错了，我应该把他吃掉。”肚子很饿的鳄鱼显然有些高兴，“好了，这样我就不把他还给你了！”“可是，这样你又必须把孩子还给我，因为如果你吃了我的孩子，我就说对了。你答应我如果我说对了，你就把孩子还给我的。”母亲立刻反驳道。“唉！是这么回事！那么……我该怎么办呢？！”这下轮到鳄鱼不知所措了，结果被搞蒙的鳄鱼无可奈何地把孩子还给了母亲。这位聪明的母亲一下抱起孩子飞一般地跑掉了！
仔细地琢磨一下这个著名的“鳄鱼悖论”，你就会发现这位聪明母亲的智慧所在。她精心设计了对鳄鱼的回答为：“你要吃掉我的孩子。”这样，无论鳄鱼怎么做都会与其允诺相互矛盾。如果把孩子还给母亲，她的话就是错的，那么，就应该把孩子吃掉，也就是说不还给母亲；而如果不还给母亲，母亲的话就是对的，那么，就应该还给母亲。这样，自大的鳄鱼就不由自主地陷入到还－－不还－－还－－不还……的怪圈中，无论怎样做都不能摆脱。当然，如果这个母亲不够聪明，只说成：“你要把孩子还给我。”那么她很可能失去自己的孩子。因为鳄鱼既可以交回孩子，也可以把他吃掉。如果鳄鱼交回孩子，母亲的话就说对了，鳄鱼就遵循了自己的诺言；如果鳄鱼足够聪明的话，它也可把孩子吃掉，这时，母亲的话就是错的，鳄鱼仍遵循了自己的诺言。由此可知，对于这种说法，鳄鱼无论怎样做都不用感到困惑。

　　部分小于整体？

　　在一个盒子里，装着黑白两种围棋棋子，哪种颜色的棋子更多一些呢？有人说，数一数不就完了吗？不错，分别数出两种颜色棋子的数目，然后比较数字大小，这是一种办法；还有一种更简单的方法，那就是对应，每一次从盒子里取出一黑一白两种棋子，放到另一个盒子里，一直取下去，最后剩下哪种棋子，就判定这种颜色的棋子多，如果刚好数完，就说明两种颜色的棋子一样多．
　　前面说的都是盒子里的棋子数有限的情形，若盒子里的棋子数是无限的．那么，至少有一种颜色的棋子数是无限的．这样，我们就无法确切数出这样颜色的棋子数，因而前一种方法在这儿行不通．后一种方法适用吗？如果若干次之后，只剩下某种颜色的棋子，说明这种棋子多，并且是无数多个，如果每拿出一个黑的，总能拿出一个白的，并且每拿出一个白的，也能拿出一个黑的，那么就说明棋子数一样多了，并且都是无数多个．
　　整体大于部分，这是一条古老而令人感到无可置疑的真理．哲学是如此，事物内部总是存在千丝万缕的联系，为了精确地分析万物的本质，我们通通先割裂它们．分别对事物的各个部分进行考察，但整体大于部分，它甚至大于各部分之和．从数学上来看，这一条真理真的和它看起来一样吗？17世纪的科学家伽利略发现，从数量上考察，涉及到数目无限时，情形就不一样了．
　　伽利略在《对话》中有这样的注解："平方数的个数不小于所有的总数，所有数的总数也不大于平方数的个数"，表面上看起来，平方数的集合是所有数的集合的一个子集，属于明显的整体与部分的关系，伽利略的注解认为，它们的个数是一样多的，不妨用对应的思想来解释一下：
　　…1 2 3 4 5 6 7 8 9 … n …
　　…1 4 9 16 25 36 49 64 81… n2 …
　　每一个自然数，总能找到一个平方数与之对应，相反，每一个平方数也一定能找到一个自然数与之对应，那么这两个数的集合是一一对应的，也就是说自然数和平方数的个数是一样多的．
　　像这样的情形还有许多，整数和偶数是一样多的，整数与奇数也是一样多的，只要部分和整体的元素之间能建立一一对应的关系，那么它们含有同样多的元素．
　　在这个思想的启发下，19世纪后期德国数学家康托尔创立了集合论．它揭示出部分可以和整体之间建立起一一对应关系，这正是含有无穷多个元素的集合的本质属性之一．它告诫人们：不要随便把有限的情形下得到的定理应用到无限情形中去．
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　　理发师悖论

　　萨维尔村理发师给自己订了一条规则："他给村子里不给自己刮胡子的人刮胡子，也只给这样的人刮胡子．于是有人问他：您自己的胡子由谁来刮呢？"理发师顿时哑口无言．
　　因为，如果他给自己刮胡子，那么他就属于自己给自己刮胡子的那类人．但是，招牌上说明他不给这类人刮胡子，因此他不能自己给自己刮．如果由另外一个人给人刮，他就是不给自己刮胡子的人，而招牌上明明说他要给所有不自己刮胡子的男人刮胡子，因此，他应该自己为自己刮胡子．由此可见，不管作怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的．
　　这就是著名的理发师悖论，是由英国哲学家罗素提出来的，这个通俗的故事表述了集合论中的一个著名的悖论——罗素悖论．罗素悖论还有其它一些通俗化问题，其中有一个是这么叙述的：假定有一个图书馆管理员，要给他的图书馆编辑一本参考书目：仅列入所有那些在他的图书馆里不把它们自己列入的参考书目的参考书目．
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　　强盗的难题

　　强盗抢劫了一个商人，他将商人捆在树上，预备在杀掉他之前，先戏弄一番．强盗头子对他说："我本想立即杀掉你，但在临死之前，再给你一个机会．你说我会不会杀掉你，如果你说对了，我就放了你，决不反悔！如果说错了．我就杀掉你．"
　　强盗以为，商人已逃不了一死，他怎么也没有想到，商人凭着自己的聪明才智逃过了这一劫．聪明的商人仔细一想，便说："你会杀掉我．"这下，轮到强盗发呆了，"如果我把你杀了，你就说对了，那么就应该放了你；如果把你放了，你就说错了，却又应该把你杀掉．"强盗想不到自己陷入了进退两难的境地，心下对商人顿生佩服的感情，于是将商人放了．
　　这是古希腊哲学家嘴边常讲的故事．商人的一句："你会杀掉我的．"立马解除了眼前的困境，他是多么地聪明．假如他说："你会放了我的．"这样，强盗就说法，让强盗无论怎么做，都必定与许下的诺言自相矛盾．
　　像这样有趣的问题还有许多．比如，上帝是万能的，你说上帝能创造一块他也举不起来的大石头吗？
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　　说谎者悖论

　　公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言："所有克里特人所说的每一句话都是谎话．"如果这句话是真实的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是断言却说：克里特人是不会说真话的．如果这句话是不真的，也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了句谎话，同时断言表明：克里特岛也有人不说谎．那么，他说的话又是真话．所以，怎样也难以自圆其说．这就是著名的说谎者悖论．
　　公元前4世纪，希腊哲学家也提出了这个悖论："我现在正在说的这句话是谎话．"因为你说的话若是真话，按话的内容分析，那么它又应是一句谎话；反之，若你说的话是谎话，那么你的话又应是真话．说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家．
　　说谎者悖论有许多形式．比如，我预言："你下面要讲的话是'不'，对不对？用'是'或者'不'来回答！"如果你说："不"那表明你不同意我的预言．也就是说你应说"是"，这样与你的本意相矛盾．如果你回答说："是！"这意味着你同意我的预言，那么你要的话就应当"不"，于是又产生矛盾．
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　　参考资料：http://res.xhedu.net/derup/gate/res.index.php#

一条鳄鱼从一位母亲手里抢走了她的小孩，并要母亲猜它是否会吃掉小孩，条件是：如果她猜对了，它就交还小孩；如果她猜错了，它就吃掉小孩。这位母亲答道：“你会吃掉我的小孩。”
结果是
如果母亲猜对了，按照约定，鳄鱼应交还小孩；但这样一来，母亲就猜错了，又按照约定，鳄鱼应吃掉小孩。
如果母亲猜错了，按照约定，鳄鱼应吃掉小孩；但这样一来，母亲就猜对了，又按照约定，鳄鱼要交还小孩。
于是，鳄鱼应吃掉小孩，当且仅当鳄鱼应交还小孩。不论怎样，鳄鱼都无法执行自己的约定。

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