主观概率的基本概念

如何理解概率的定义？~

概率的定义是什么

假设有n个局中人参与博弈，如果某情况下无一参与者可以独自行动而增加收益（即为了自身利益的最大化，没有任何单独的一方愿意改变其策略的[1]），则此策略组合被称为纳什均衡
纳什均衡
。所有局中人策略构成一个策略组合（Strategy Profile）。纳什均衡，从实质上说，是一种非合作博弈状态。

子博弈:一个扩展式表示博弈的子博弈G是由一个单结信息集x开始的与所有该决策结的后续结(包括终点结)组成的能自成一个博弈的原博弈的一部分。
　　对于扩展式博弈的策略组合S*=(S1*,…,Si*,…,Sn*) ,如果它是原博弈的纳什均衡;它在每一个子博弈上也都构成纳什均衡,则它是一个子博弈精炼纳什均衡。
　　博弈论专家常常使用“序惯理性”(Sequential rationality)：指不论过去发生了什么，参与人应该在博弈的每个时点上最优化自己的策略。子博弈精练纳什均衡所要求的正是参与人应该是序惯理性的。对于有限完美信息博弈，逆向归纳法是求解子博弈精炼纳什均衡的最简便的方法。因为有限完美信息博弈的每一个决策结都开始一个子博弈。求解方法：　最后一个结点上的子博弈（纳什均衡）→倒数第二个（纳什均衡） → ······ → 初始结点上的子博弈（纳什均衡）。

纳什均衡（Nash Equilibrium）和子博弈完美纳什均衡（Subgame perfect Nash equilibrium）所反映的博弈都包括了一个基本假设：即博弈的结构、博弈的规则、所有局中人的策略空间和支付函数（payoffs）都是共同知识（common knowledge）。满足这样一个假设的博弈称为“完全信息博弈”（games of complete information）。但在现实生活中这一假设往往得不到满足。在非合作博弈论中，局中人对博弈的结构以及其他局中人的特征并没有准确的知识的情况叫“不完全信息博弈”（games of incomplete information）。在1967年以前，博弈论专家对不完全信息博弈是束手无策的。 Harsanyi（1967—1968）的贡献解决了这个问题，填补了博弈论乃至经济学的一大空白，他也因此而获得了诺贝尔经济奖。John C.Harsanyi引入了一个虚拟的局中人——自然（nature）。与一般的局中人不同，“自然”没有自己的支付和目标函数，即所有结果对它而言是无差异的。自然首先行动，决定局中人的特征。被选择的局中人知道自己的真实特征，而其他局中人并不清楚这个被选择的局中人的真实特征，仅知道各种可能特征的概率分布。另外，被选择的局中人也知道其他局中人心目中的这个分布函数，也就是说，分布函数是一种共同知识（common knowledge）。John C.Harsanyi的这项工作被为“Harsanyi转移”（the Harsanyi transformation），通过这个转换，John C. Harsanyi把“不完全信息博弈”转换成“完全但不完善信息博弈”（complete but imperfect information）。这里“完全但不完美信息” 指的是，自然作出了它的选择，但其他局中人并不知道它人具体选择是什么，仅知道各种选择的概率分布。这样一来，不完全信息博弈就变得可以进行分析了。在这个基础上，John C.Harsanyi定义了贝叶斯纳什均衡（Bayesian-Nash equilibrium）。

精炼贝叶斯均衡是完全信息动态博弈的子博弈精炼纳什均衡与不完全信息静态均衡的贝叶斯(纳什)均衡的结合。有些书上或论文中也写成精炼贝叶斯纳什均衡。
　　具体来说，精炼贝叶斯均衡是所有参与人策略和信念的一种结合。它满足如下条件：第一，在给定每个参与人有关其他参与人类型的信念的条件下，该参与人的战略选择是最优的。第二，每个参与人关于其他参与人所属类型的信念，但是使用贝叶斯法则从所观察到的行为中获得的。
　　完美贝叶斯纳什均衡的要点是在于当事人要根本所观察到的他人的行为来修正自己的有关后者特征的“信念”（主观概率），并由此选择自己的行动。完美贝叶斯纳什均衡是所有局中人策略和信念的一种结合，它满足如下条件：(a)给定每个局中人关于其他局中人特征的概率分布的信息，他的策略选择应该在每一个子博弈都构成贝叶斯均衡，也就是说，给定每个人有关其他人特征的信息的情况下，他的策略等待是最优的；(b)每个人有关他人特征的信念都是使用贝叶斯法则从所观察到的行为中获得的。

1. 频率
fn(A)==Na/N
2.每个基本事件等可能
3.公理化定义
E是随机试验,S是E的样本空间,对E的每一事件A,对应有确定实数P(A),若满足:
① 非负性：0≤P(A)≤1
② 规范性： P(S)=1
③可列可加性：对两两不相容事件Ak (k=1,2…) (Ai∩ Aj=φ)
P(∪Ak)=∑P(Ak)
则称P(A)为事件A发生的概率 (subjective probability, likelihood)
1. 为什么引入主观概率
。有的自然状态无法重复试验
如：明天是否下雨
新产品销路如何
明年国民经济增长率如何
能否考上博士生
。试验费用过于昂贵、代价过大
例：洲导弹命中率
战争中对敌方下一步行动的估计
2.主观概率定义：合理的信念的测度
某人对特定事件会发生的可能的度量。
即他相信(认为)事件将会发生的可能性大小的程度。
这种相信的程度是一种信念，是主观的，但又是根据经验、各方而后知识，对
客观情况的了解进行分析、推理、综合判断而设定(Assignment)的，与主观臆测不同。 对非空集Ω，元素ω，即Ω={ω}，F是Ω的子集A所构成的σ-域(即Ω∈F；
若A∈F则A∈F；
若Ai∈F i=1,2,…则∪Ai∈F)
若P(A)是定在F上的实值集函数，它满足
① 非负性 P(A)≥0
② 规范性 P(Ω)=1
③可列可加性
则称P(A)为直的(主以或客观)概率测度，简称概率
ω为基本事件
A为事件
三元总体(Ω，F，P)称为概率空间
注意：主观概率和客观概率（objective probability）有相同的定义 (一) 基本属性：
O：系统的固有的客观性质，在相同条件下重复试验时频经的极限
S：概率是观察者而非系统的性质，是观察者对对系统处于某状态的信任程度
(二)抛硬币：正面向上概率为1/2
O：只要硬币均匀，抛法类似，次数足够多，正面向上的概率就是1/2，这是简单的
定义。
S：这确是定义，DMer认为硬币是均匀的，正、反面出现的可能性(似然率)相同，1
/2是个主观的量。
(三)下次抛硬币出现正面的概率是1/2
O：这种说法不对，不重复试验就谈不上概率
S：对DMer来说，下次出现正、反是等可能的。但是他不是说硬币本身是公正的，它可能会有偏差，就他现有知识而言，没有理由预言一面出现的可能会大于另一面，但多次抛掷的观察结果可以改变他的信念。
O、S：下次抛硬币出现正面还是反面不能确定，但知道：
要么是正面，要么是反面。
先验分布(Prior distribution)及其设定
在决策分析中，尚未通过试验收集状态信息时所具有的信息叫先验信息，由先验信息所确定的概率分布叫先验分布。
设定先验分布是Bayesean分析的需要. 1.连通性(Connectivity)，又称可比性
即事件A和B发生的似然性likelihood是可以比较的：
A>L B或A L B或B>L A 必有一种也仅有一种成立.
** A>L B读作 A 发生的似然性大于B 发生的似然性,
A L B 读作 A 发生的似然性与B 发生的似然性相当。
2.传递性(Transitivity)
若对事件A，B，C , A >L B， B >L C 则A >L C
3. 部分小于全体：若A?B则BL A
例：设定明年国民经济增长率时：
①A：8～11% B：12～15% C：15～20%
若 A >L B， B >L C ， 则 A >L C
② A：8～11% D：8～10% 必有D >L A 1.对各事件加以比较确定相对似然率
例1. 考博士生 E：考取 E：考不取
若P(E)=2P(E) 则P(E)=2/3 P(E)=1/3
例2。某地气候状况：正常年景θ1，旱θ2，涝θ3
正常与灾年之比：3∶2 则P（θ1)=0.6
水旱灾之比1∶1 P(θ2)=P(θ3)=0.2
该法适用于状态数较少的场合
2.打赌法
设 事件E发生时收入P，（0 <P <1） 且 E\c=(1—P)
调整P，使决策人感到两者无差异为止, 则：P(E)=P 1.直方图法
·该法适用于θ取值是实轴的的某个区间的情况
·步骤：①,将区间划分子区间θi…离散化
②设定每个子区间的似然率π(θi)…赋值
③变换成概率密度曲线
例如：明年国民经济的增长率
·缺点：①子区间的划分没有标准
②赋值不易
③尾部误差过大
2.相对似然率法
·适用范围：同1
步骤：①离散化
②赋值：给出各区间似然的相对比值
③规范化：
例如：同1
A. 相对似然率R 似然率π(A)
子区间8～9% 10 10/ΣR
7～8 9 9/ΣR
9～10 7.5 7.5/ΣR
B. 决策者给出每二个状态似然率的比例关系
aij= pi/pj (1)
应有
aij= 1/aji (2)
aij=aik.akj (3)
在(3)式不满足时，可用最小二乘法估计决策人心目中真正的主观概率分布Pi i=1,…，n
即求规划问题
min{∑∑(aijpj - pi)}
s.t. ∑pi= 1 , pi≥0
*用拉格朗日乘数法,构造拉格朗日函数
L=
上式对 ，i=1,2…n求偏导数，并令其为0，得：
l=1,2,…,n.
与 联列，构成n+1阶齐次方程组，求得Pi, i=1,…，n
3.区间对分法
·适用范围：可以是开区间
·步骤：①求中位
②确定上、下四分位点(quartile fractile)
③由于误差积累,最多确定八分位点(Eighth fractile)
例：产品销售量(预计明年)
·缺点：精度差
4.与给定形式的分布函数相匹配
这是最常用，且常常被滥用的方法
·步骤：①选择一个与先验信息匹配得最好的函数
如正态，泊松，β，e-Cauchy分布等
例：a)在单位时间以恒常的平均比率入出现，则在T单位长度时间内该事件出现的次数服从Poisson分布
2-4
b)若影响某一随机变量的因素很多而每一因素的作用均不显著，则该变量服从正态分布。例如，测量误差，弹落点，人的生理特征的度量，农作物产量等均服从正态分布。
c)事件A出现的概率为P，n次独立试验出现r次A的概率b(p,r,n)= . 即服从二项分布。
②参数估计：
A.矩法：N(μ,σ) Be(α，β)
·缺点：尾部估计不准，但对矩的影响却很大
B.分位数：利用几个分位点和现成的概率密度
函数分位数表，估计参数并检验。
5. 概率盘法(dart)
用园盘中的扇形区表示抽奖事件, 透用于西方管理人员
·注意：状态的概率或概率分布不是也不应富由决策分析人员来设定，而应当由决策人和有关问题专家提供基本信息。
理由：

---

主观概率的基本概念视频